數學界到底是如何確認公理的？

01-09

比如兩點之間直線短最短，說它不證自明的原因是不是因為找不到比它更短的，但是從邏輯上來說你永遠也無法窮盡所有兩點之間的線段。那麼問題來了，類似哥德巴赫猜想的這類數學問題為何不能作為公理存在，因為你雖然無法窮盡所有數，但是你卻是沒有找出個例的錯誤，它們不能作為公理的原因在哪？數學到底如何確定什麼是公理？

數學上的公理其實更類似於定義。比如ZFC公理集合論其實是對集合這個概念的一堆描述（但不是精確的定義，集合是數學裡的一個原對象，無法由其他對象來定義）。比如拓撲空間3條公理就是以3個命題給出拓撲空間的定義。再比如古典的歐幾里德公理體系，無非也是對「直線」「點」這些概念所應滿足的一些性質的一個描述。

至於哥德巴赫猜想，首先，它是一個具體的命題。數學裡面的公理，很少是具體的命題。但是，如果能夠證明哥猜和ZFC獨立的話（即ZFC既不能證明也不能證偽哥猜），那麼將哥猜納入 ZFC構成一個新的公理體系也是被允許的。但是問題在於：我們並沒有證明，哥猜和ZFC獨立。所以邏輯上我們沒有道理把哥猜納入新公理體系。

我做數學研究6年了，也不知道怎麼確認「公理」。不要說得有那麼多公理一樣，很少很少，而且幾乎不會直接需要（也是是因為我做的是偏微分方程）。你說的兩點間線段最短在變方法看來是可以證明的，不是公理。哥德巴赫猜想只是猜想，就算對了也只是一個命題。除非你證明它和現在的體系是獨立的。

比如兩點之間直線短最短，說它不證自明的原因是不是因為找不到比它更短的，但是從邏輯上來說你永遠也無法窮盡所有兩點之間的線段。

這個在數學上是可以證明的，中學將其作為公理更多是由於教學上方便，在數學中不是所有曲線都可以計算長度的，X是距離空間，d是X的距離，曲線 $gamma colon [a, b] ightarrow X$

我們可以定義

$ext{length} (gamma)=sup left{ sum_{i=1}^n d(gamma(t_i),gamma(t_{i-1})) : n in mathbb{N} ext{ and } a = t_0 < t_1 < dotsb < t_n = b ight}$

當 $ext{length} (gamma )<infty$ 我們稱這個曲線是可求長的，只有可求長曲線才有討論曲線長度的意義。現在設X是 $mathbb{R}^2$ ,d是歐氏距離，易看出該曲線長度總是大於 $d( gamma(a),gamma(b))$ ,而直線段的長度等於它，由此説明，直線段最短，具體證明從略。

實際上，中學裡很多公理都是可以證明，當作公理只是不想證明它們而已，因明證明所需的工具超出中學數學範圍。

類似哥德巴赫猜想的這類數學問題為何不能作為公理存在，因為你雖然無法窮盡所有數，但是你卻是沒有找出個例的錯誤，它們不能作為公理的原因在哪？

如果你要把哥德巴赫猜想加入peano公理中，首先要證明它和其他公理是一致的，也就是說你能找到一個模型，使得這個新的公理體系是成立的，如果你的模型是標準模型，其實相當於已經證明了哥德巴赫猜想，如果你使用的這個模型不是標準模型，那麼從理論上來說你可以將歌巴赫猜想當作公理的一部分，但是這有什麼意義？一個東西是否能加入數學的公理體系中，實際上是有很多數學家，通過大量實踐總結出來的，而並不是空想出來。所以如果你沒有充分理由，雖然從原理上，你可以把他加入到公理中，但實際是沒有價值的，更何況你不一定會找這種模型，使它和peano公理是一致的。關於哥德巴赫猜想還有一個有趣的結論，就是很多人問哥德巴赫猜想是否是獨立的，實際上，如果你能證出哥德巴赫猜想是獨立的話，也就是相當於證明它是真的，具體見關於哥德巴赫猜想，有人從哥德爾定理考慮過可證性嗎？ - mathiq galory 的回答 - 知乎

數學到底如何確定什麼是公理？

我只能談談，我認為什麼是公理，至於其他人認為什麼是公理，我也不是很確定，我認為公理就是，有模型的理論。需要說明的是這裡的模型和理論，都是術語，和我們通常說，說的化學理論，物理理論，航空模型，數學建模並沒有什麼關係。具體可參考維基百科。見Theory (mathematical logic)和Model theory - Wikipedia 實際上，公理二字在大學中很少使用，有的時候你說能在課本上見到公理二字，更多的也是基於歷史原因，例如，集合論的各種公理，例如比較有名的選擇公理。有時候我們也會說線性空間的那幾條定義，是公理，群的那幾條定義，是群的公理。所以現代數學所理解的公理和你在中學所學的，所謂的勞動人民通過長時間實踐所總結出的的真理，並不是一回事，中學有這種説法，只是因為如果將公理理解成有模型的理論，對中學生對中學教師，無論是理解還是教學都是比較困難。當然有些人可能會問，沒有模型理論是否可以研究了，從數學角度來說，這種東西是沒有價值，但從邏輯學的角度來說，或許是可以研究的，但是數學家是不怎麼感興趣，也就這個原因，邏輯學在數學上使用最多的工具，就是模型論，而不是其他的一些分支。

三步走。

第一，公理需要滿足：

1.相容性——即公理之間不能出現邏輯矛盾（但允許不符合常識，比如當初各種非歐幾何的公理出現之時，就被認為是不符合常識的）

2.獨立性（非必要）——即盡量減少廢話

-----------這倆個在本文末尾舉了栗子。

第二，數學家們可以在滿足相容性的基礎上隨便定義公理，注意，真的是可以隨便定義都沒錯～

第三，根據達爾文自然選擇，那些既不實用又不有趣的公理會得不到大家關注並且被遺忘淘汰（因此，那些整天只會創建新的無聊的公理的數學家會被餓死…）

結果至今，如你所見，數學就變成了現在這樣。

回復題主：為什麼哥德巴赫的猜想不能作為公理呢？

1，因為它在被得到證明之前，是有可能與我們現在普遍接受的數學公理矛盾的，這樣就不符合公理的相容性了。（而強行摒棄大家都認可的可靠的公理，一意孤行把哥德巴赫猜想定義為公理的數學家已經被餓死（況且這麼定義也沒啥意義，因為誰都會））

2，就算哥德巴赫猜想被證明了，那就說明它是由已知的公理推出。那就也不需要再浪費口舌又把它定義成公理了（獨立性）。

補充：對相容性和獨立性舉個例子。

比如，你可以定義兩條公理為：

1，一隻雞＝兩頭豬

2，一頭豬＝兩條魚

這兩條公理公理雖然看似荒謬，但是允許的。

但在前兩條公理已經給出的情況下，不能再定義以下公理：

3*，一隻雞＝三條魚

（因為根據前兩條公理，一隻雞應該等於四條魚才對，出現矛盾）

也沒必要定義以下公理：

4，一隻雞＝四條魚（因為這條能由第一第二條公理推導出，換言之，這條公理不是獨立的）

歐式空間中兩點之間直線最短，用歐拉-拉格朗日方程可證得……

把一條路徑看做一個函數，這裡用到的基礎變分思想，就是在所有可能的函數中尋找使目標作用量最小化的那個。就像求最值時在所有的實數中尋找能使目標函數最大化或最小化的數一樣。

首先你要知道什麼是定義，什麼是命題，什麼是邏輯，然後才能明白什麼是公理。

定義是對事物屬性的一種抽象的指稱描述，命題是對於基於定義的事物關係的一種陳述，而邏輯則用來對於這種關係（命題）進行檢驗和判斷。如果一個命題，其描述的關係，可以從已經被認為是正確的命題出發，經由邏輯推理而得出，我們就認為這個命題是符合邏輯（正確）的，否則我們就認為其是謬誤的。然而，就像鏈條一樣，對命題進行判斷，定然會導致存在有最初的一些命題，這些命題我們可以用來判斷其他的命題，卻缺少可以用來對其進行判斷的命題，基於這些命題和邏輯，我們可以發展出一套理論體系直到在其中發現矛盾為止。這樣的命題我們就稱之為公理。

需要注意的是公理不是真理。

如果形式化地考慮，兩點之間直線短最短包含了很多層意思（假設我們有關於實數的公理）：

1.我們有「點」「（有端點的）曲線段」「平面」這些概念，其中「曲線」定義為點的集合（符合一定條件，使得曲線應該是一維的），「平面」是所有點的集合。

2.對於曲線，存在一個求長度的操作，就是從曲線到實數的映射。這一映射應當滿足一定條件，例如如果A在曲線段BC之間，那麼BC之間曲線的長度應當等於AB之間和AC之間的曲線和的長度。

3.考慮所有端點為固定的兩個點的曲線，其長度存在下確界並可以取到，且方法唯一。

以現代的觀點來看歐幾里得公理離「公理系統」還差得遠，甚至會引發一些悖論（Are All Triangles Isosceles），平面幾何公理化的努力直到希爾伯特才告一段落。

數學和邏輯一樣，都不屬於科學。而是先驗的綜合命題

這個回答是無知的，錯誤的，正確的請看@程珂的回答

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得到驗證成功的才能成為公理，定理，定義。

兩點之間直線距離最短，難道沒有被驗證？