極限運算的時候碰到ln時 有時候對分子用等價替換或者直接洛必達會出錯?
有種說法是說ln實質是加減運算不是乘除運算。
能擺脫詳細解釋一下嗎。 或者 有相關書籍介紹了相關內容也麻煩列一下謝謝
和 是等價無窮小,所以你可以互相替換的原因是:你給 乘了一個 ,而後者的極限是 1.所以結果不變。
而在對數里,相當於加上了一項 .這一項當然是等於 0 的。但是注意,你題目里的那個對數本身的極限也為 0 ,它除以了一個趨於 0 的量 。也就是說,最後的結果實際上多加了 .而這個結果不一定為 0 。如果不為 0, 就會出錯。
謝邀。
「等價無窮小替換」永遠別用,洛必達能不用就不用。
學著用Landau的o記號。你看那個很煩人的分母,你不用等比求和等價無窮也能看出來它極限是n,直接代入一樣的答案,過程還簡單些。等價和相等還是不一樣的。等價代換可以,但不要消除變數。消除變數也可以,但要保留高階小量,實質和某答主說的級數展開是一樣的。比如你直接證明x~0時e的nx次方等價nx+1,然後等價代換袋鼠運算就很方便了。你這個演算法就是提前把部分極限值當確定值代到式子里了,最後結果就少了一部分。所以這種較複雜的極限,等價無窮要變數換變數,還不能急著消除變數,要儘可能留著,如果出現了像你這樣不得不消除的情況,就是袋鼠變換方向錯了,走進了死胡同。其實做題嘛,你要是有感覺,自然知道該往幾階變數上去湊。這種形為1的無限大次方的極限求值,1必然是極限1而不是代數1,你算著算著直接就等於1了必然不對啊。不用看什麼特殊的書,多做做題注意總結就好了。
謝邀。問題出在的地方大家都知道,我這裡細緻分析了一下。
原因:複合函數的中間變數,不能直接用等價無窮小代換。
等價無窮小不是真的相等,還是丟掉了一些小量,複合函數里用容易把這些小量放大。
我數學底子不是很紮實,所以去查了一下。
題主可以參看用等價無窮小代換求極限中的一些問題-【維普網】
據此能夠看出,題主所用的方法屬於不規範的代換。
如果要用題主的方法,需要 和 在 為同階無窮小,
但這裡並不是,因此不能這麼做。
如果題主還是想用兩次無窮小的解法可以這樣:
,
然後
或者對ln()裡面用洛必達,都可以做出來。
_(:з)∠)_再次吐槽知乎公式編輯器真難用…
你說的沒問題 對數的乘法實質是加法 加減法下慎用等價無窮小
謝邀。先簡單回答一下,有空補全。
這道題中沒有使用洛必達法則,而是使用了等價無窮小。使用洛必達法則的話,直接在3式求導就可以得出正確結果,並且計算量很小。但是極限運算中使用等價無窮小的替換隻能出現在最後一步,因為等價無窮小是把高階小量忽略得到一個比值,但是如果繼續進行極限運算,這個忽略的高階小量也有可能會起到作用。也就是說分子與分母中的高級小量,它們的比值可能就是同階的,這時就不能忽略它們的貢獻。
分子等價的前提是是否為無窮小,洛必達法則也得看是否是未定式
xln後面應該不能用等價無窮小,ln裡面的分母並非原式整體的乘積因子
一般遇到e,log這種的極限,二階展開比較靠譜一點。以下是在草稿紙上寫的答案,手機不方便打tex,實在抱歉,將就著看看吧。
先說我的結論:對數的乘法實際上是加法,在對數的真數里進行等價替換不一定正確. 對數運用等價無窮小替換必須作為一個整體進行替換.
在對這題的研究中我發現了自己一些知識上的漏洞,在這裡寫出來,希望能對題主解題有幫助. (如果覺得啰嗦,可以直接從後面的「那麼在對數的真數里可以進行替換嗎?不一定行得通,因為對數的乘法是實質上是加法.」那裡進行閱讀)
第一點:等價無窮小的對數不是等價無窮小.
假設有
則 與 在 時互為等價無窮小,記作
但是很顯然,
如果在 的某一變化過程中, 和 互為等價無窮小,它們的對數不再是無窮小了. 題主在做這個替換時,首先就不是等價無窮小的替換.
題主可以回憶一下課本上:當 時,
這裡是把對數作為整體來進行替換,而不是把對數裡面的真數拿來進行替換.
但不是等價無窮小就不能替換了嗎?我覺得不一定,等價無窮大也可以.
第二點:等價無窮大.
不妨先看看等價無窮小替換的根本原因:
如果在 的某一變化過程中(假設 ), 和 互為等價無窮小,那麼:
由於 因此得出等價無窮小替換:
顯然,只要滿足 即使 我認為在求極限的乘法中,如 ,也可以進行替換.
但問題來了,等價無窮小的對數是等價無窮大嗎?我認為應該是的,但未經證明,我不能妄下定論. 但題主進行的變換,可以用L"Hospital法則證明是等價的.
那,既然是等價的替換,為什麼不對呢?第三點,我認為是這種替換出錯的關鍵所在:對數的乘法實質上是加法.
第三點:對數的乘法與等價無窮小替換.
題主可以觀察一下,我在第二段最後進行的證明兩個替換等價時,是把對數作為一個整體進行的等價,但是題目中對數的真數不是這樣. 旁邊有 ,而 旁邊有n. 更重要的是 與 不是在兩個對數里,而是在一個對數里,也就是這種差別:
與 顯然不同.
那麼在對數的真數里可以進行替換嗎?不一定行得通,因為對數的乘法是實質上是加法.
如果有 能用 替換 嗎?
(即 )
很明顯不一定可以,因為這樣替換相當於在加減法中進行等價替換:
這兩個極限是否相等是未知的.
因此得出結論:對數中的真數不要隨意進行等價替換, 即 這樣的替換. 等價替換時請把對數作為整體進行替換,就像 這種形式.
占坑,試著把泰勒級數展開至少寫兩項,加上省略號(或者O())可以使過程更加清晰
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