極限運算的時候碰到ln時有時候對分子用等價替換或者直接洛必達會出錯？

01-08

有種說法是說ln實質是加減運算不是乘除運算。
能擺脫詳細解釋一下嗎。或者有相關書籍介紹了相關內容也麻煩列一下
謝謝

$f(x)$ 和 $g(x)$ 是等價無窮小，所以你可以互相替換的原因是：你給 $f(x)$ 乘了一個 $frac{g(x)}{f(x)}$ ，而後者的極限是 1.所以結果不變。

而在對數里，相當於加上了一項 $ln frac{g(x)}{f(x)}$ .這一項當然是等於 0 的。但是注意，你題目里的那個對數本身的極限也為 0 ，它除以了一個趨於 0 的量 $x$ 。也就是說，最後的結果實際上多加了 $lim _{x ightarrow 0}frac{ln (g(x)/f(x))}{x}$ .而這個結果不一定為 0 。如果不為 0，就會出錯。

謝邀。

「等價無窮小替換」永遠別用，洛必達能不用就不用。

學著用Landau的o記號。

你看那個很煩人的分母，你不用等比求和等價無窮也能看出來它極限是n，直接代入一樣的答案，過程還簡單些。

等價和相等還是不一樣的。等價代換可以，但不要消除變數。消除變數也可以，但要保留高階小量，實質和某答主說的級數展開是一樣的。比如你直接證明x～0時e的nx次方等價nx+1，然後等價代換袋鼠運算就很方便了。你這個演算法就是提前把部分極限值當確定值代到式子里了，最後結果就少了一部分。

所以這種較複雜的極限，等價無窮要變數換變數，還不能急著消除變數，要儘可能留著，如果出現了像你這樣不得不消除的情況，就是袋鼠變換方向錯了，走進了死胡同。

其實做題嘛，你要是有感覺，自然知道該往幾階變數上去湊。這種形為1的無限大次方的極限求值，1必然是極限1而不是代數1，你算著算著直接就等於1了必然不對啊。不用看什麼特殊的書，多做做題注意總結就好了。

謝邀。問題出在的地方大家都知道，我這裡細緻分析了一下。

原因：複合函數的中間變數，不能直接用等價無窮小代換。

等價無窮小不是真的相等，還是丟掉了一些小量，複合函數里用容易把這些小量放大。

我數學底子不是很紮實，所以去查了一下。

題主可以參看用等價無窮小代換求極限中的一些問題-【維普網】

據此能夠看出，題主所用的方法屬於不規範的代換。

如果要用題主的方法，需要 $frac{nxe^{x}}{nx}$ 和 $frac{e^{x}(1-e^{nx})}{(1-e^{x})n}$ 在 $x ightarrow0$ 為同階無窮小，

但這裡並不是，因此不能這麼做。

如果題主還是想用兩次無窮小的解法可以這樣：

$x ightarrow0$ ,

$ln(frac{e^{x}+e^{2x}+…+e^{nx}}{n}) =ln(frac{e^{x}+e^{2x}+…+e^{nx}}{n}-1+1) sim frac{e^{x}+e^{2x}+…+e^{nx}}{n}-1$

然後

$frac{e^{x}+e^{2x}+…+e^{nx}}{n}-1 = frac{(e^{x}-1)+(e^{2x}-1)+…+(e^{nx}-1)}{n} sim frac{1+2+…+n}{n}=frac{n+1}{2}$

或者對ln()裡面用洛必達，都可以做出來。

_(:з)∠)_再次吐槽知乎公式編輯器真難用…

你說的沒問題對數的乘法實質是加法加減法下慎用等價無窮小

謝邀。先簡單回答一下，有空補全。

這道題中沒有使用洛必達法則，而是使用了等價無窮小。使用洛必達法則的話，直接在3式求導就可以得出正確結果，並且計算量很小。但是極限運算中使用等價無窮小的替換隻能出現在最後一步，因為等價無窮小是把高階小量忽略得到一個比值，但是如果繼續進行極限運算，這個忽略的高階小量也有可能會起到作用。也就是說分子與分母中的高級小量，它們的比值可能就是同階的，這時就不能忽略它們的貢獻。

分子等價的前提是是否為無窮小，洛必達法則也得看是否是未定式

xln後面應該不能用等價無窮小，ln裡面的分母並非原式整體的乘積因子

一般遇到e，log這種的極限，二階展開比較靠譜一點。以下是在草稿紙上寫的答案，手機不方便打tex，實在抱歉，將就著看看吧。

先說我的結論：對數的乘法實際上是加法，在對數的真數里進行等價替換不一定正確. 對數運用等價無窮小替換必須作為一個整體進行替換.

在對這題的研究中我發現了自己一些知識上的漏洞，在這裡寫出來，希望能對題主解題有幫助. （如果覺得啰嗦，可以直接從後面的「那麼在對數的真數里可以進行替換嗎？不一定行得通，因為對數的乘法是實質上是加法.」那裡進行閱讀）

第一點：等價無窮小的對數不是等價無窮小.

假設有 $lim_{x ightarrow 0}{f(x)}=0, lim_{x ightarrow 0}{g(x)}=0, lim_{x ightarrow 0}{frac{f(x)}{g(x)}}=0.$

則 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在 $x ightarrow0$ 時互為等價無窮小，記作 $f(x)sim g(x).$

但是很顯然， $lim_{x ightarrow 0}{lnf(x)}=lim_{x ightarrow 0}{lng(x)}=infty.$

如果在 $x$ 的某一變化過程中， $f(x)$ 和 $g(x)$ 互為等價無窮小，它們的對數不再是無窮小了. 題主在做這個替換時，首先就不是等價無窮小的替換.

題主可以回憶一下課本上：當 $x ightarrow0$ 時， $ln(x+1)sim x.$

這裡是把對數作為整體來進行替換，而不是把對數裡面的真數拿來進行替換.

但不是等價無窮小就不能替換了嗎？我覺得不一定，等價無窮大也可以.

第二點：等價無窮大.

不妨先看看等價無窮小替換的根本原因：

如果在 $x$ 的某一變化過程中（假設 $x ightarrow0$ ）， $f(x)$ 和 $g(x)$ 互為等價無窮小，那麼：

$lim_{x ightarrow 0}{f(x)h(x)}=lim_{x ightarrow 0}{frac{f(x)}{g(x)}g(x)h(x)}=lim_{x ightarrow 0}{frac{f(x)}{g(x)}}lim_{x ightarrow 0}{g(x)h(x)}.$

由於 $f(x)sim g(x), lim_{x ightarrow 0}{frac{f(x)}{g(x)}}=1,$ 因此得出等價無窮小替換：

$lim_{x ightarrow 0}{f(x)h(x)}=lim_{x ightarrow 0}{g(x)h(x)}.$

顯然，只要滿足 $lim_{x ightarrow 0}{frac{f(x)}{g(x)}}=1,$ 即使 $lim_{x ightarrow 0}{f(x)}=lim_{x ightarrow 0}{g(x)}=infty,$ 我認為在求極限的乘法中，如 $lim_{x ightarrow 0}{f(x)h(x)}$ ，也可以進行替換.

但問題來了，等價無窮小的對數是等價無窮大嗎？我認為應該是的，但未經證明，我不能妄下定論. 但題主進行的變換，可以用L"Hospital法則證明是等價的.

$lim_{x ightarrow 0}{frac{ln(e^{x}-1)}{lnx}}=lim_{x ightarrow 0}{frac{xe^{x}}{e^{x}-1}}=lim_{x ightarrow 0}{frac{(x+1)e^{x}}{e^{x}}}=1.$

$lim_{x ightarrow 0}{frac{ln(e^{nx}-1)}{lnnx}}=lim_{x ightarrow 0}{frac{nxe^{nx}}{e^{nx}-1}}=lim_{x ightarrow 0}{frac{n(nx+1)e^{nx}}{ne^{nx}}}=1.$

那，既然是等價的替換，為什麼不對呢？第三點，我認為是這種替換出錯的關鍵所在：對數的乘法實質上是加法.

第三點：對數的乘法與等價無窮小替換.

題主可以觀察一下，我在第二段最後進行的證明兩個替換等價時，是把對數作為一個整體進行的等價，但是題目中對數的真數不是這樣. $(e^{nx}-1)$ 旁邊有 $e^{x}$ ，而 $(e^{x}-1)$ 旁邊有n. 更重要的是 $(e^{nx}-1)$ 與 $(e^{x}-1)$ 不是在兩個對數里，而是在一個對數里，也就是這種差別：