在一個圓中弦的集合與直徑的集合等勢嗎？

01-08

如題

這兩個集合等勢. 直徑構成的集合與(-1,1]等勢, 弦構成的集合與(-1,1] x (-1,1)等勢, 而(-1,1]和(-1,1]x(-1,1)等勢.

之前的回答提到了選擇公理, 當時正在看Tarski的結果:Tarski"s theorem about choice, 忽略了這只是一個特殊情況的事實. 謝謝大家指出來.

很久沒在意集合論，對於高票回答（我回答前唯一的回答），我想說的是：

如果認為圓是個連續統（很顯然高票答主這麼認為），那麼所有直徑構成的集合勢為 $|2^{omega}|$ （因為連續統與集合 $2^{omega}$ 之間存在雙射），所有弦構成的集合勢為 $|2^{omega} imes2^{omega}|$ （與前同理）。

而通過簡單的雙射構造，我們可以證明： $|2^{omega} imes2^{omega}|=|2^{omega cup omega}|=|2^{omega}|$ ，即一個圓所有直徑構成的集合與所有弦構成的集合等勢。以我陳舊的記憶來說，這些證明在ZF里就成立，不需要AC。

雖然殺雞用牛刀我向來是不反對的。