學習bosonization時想到的問題，下面兩個計算哪個才是正確的？

01-08

玻色子體系 $[a,a^dagger]=1$ ，定義 $varphi=a/epsilon~(epsilon>0)$ ，然後定義 $psi=e^{ivarphi^dagger}e^{ivarphi}$ ，求問 $lim_{epsilon ightarrow 0}psipsi$ 是多少？（下面給出兩種計算方法）
1. $psipsi=e^{ivarphi^dagger}e^{ivarphi}e^{ivarphi^dagger}e^{ivarphi} =e^{ivarphi^dagger}e^{ivarphi^dagger}e^{ivarphi}e^{[ivarphi,ivarphi^dagger]}e^{ivarphi} =e^{-1/epsilon^2}e^{2ivarphi^dagger}e^{2ivarphi} ightarrow 0$ 。
2.首先注意到： $psi=e^{i(varphi^dagger+varphi)}e^{[ivarphi^dagger,ivarphi]/2}=e^{i(varphi^dagger+varphi)}e^{1/(2epsilon^2)}$ ，然後有 $psipsi=e^{1/epsilon^2}e^{2i(varphi^dagger+varphi)}$ ，由於 $e^{2i(varphi^dagger+varphi)}$ 是unitary的，它應該是 $mathcal{O}(1)$ 的，這樣得出 $psipsi ightarrow infty$ 。

這兩個計算究竟哪個才是正確的呢？我覺得第二個很有道理，但好像第一個才是對的，求詳細解答！

自問自答專用：

早上起來腦子清醒了，稍微做了一些計算，得到的結果是這樣的：

1. $psipsi$ 在諧振子本徵態之間的矩陣元趨於0，即 $lim_{epsilon ightarrow 0}~langle m|psipsi|n angle=0$ 。（註： $|n angleequiv frac{(a^dagger)^n}{sqrt{n!}}|0 angle$ ）

題目中給出的兩種演算法所得到的算符在取極限之前應該都是沒有問題的，這裡用第一種方法中的算符來計算比較簡便。這給出

$langle m|psipsi|n angle=e^{-1/epsilon^2}langle m|e^{2ivarphi^dagger}e^{2ivarphi}|n angle$

其中 $e^{2ivarphi}|n angle$ 可做如下計算：

$e^{2ivarphi}|n angle＝sum_{k=0}^infty frac{(2i)^k}{k!epsilon^k}a^k|n angle=sum_{k=0}^nfrac{(2i)^k}{k!epsilon^k}sqrt{frac{n!}{(n-k)!}}|n-k angle$

注意到最後的求和只有有限項，所以 $e^{2ivarphi}|n anglesim 1/epsilon^n$ ， $langle m|e^{2ivarphi^dagger}e^{2ivarphi}|n anglesim 1/epsilon^{m+n}$ ，這只是多項式級別的發散，所以 $lim_{epsilon ightarrow 0}~langle m|psipsi|n angle=0$ 。

如果我們所關心的矩陣元是有限個諧振子本徵態的疊加（有限個玻色子激發），則可以認為 $psipsi$ 趨於0。

2. 那麼如果我們考慮一個一般的可歸一化的態 $|f angle$ ，是否總是有 $langle f|psipsi|f angle ightarrow 0$ 呢？答案是否定的。為了說明這一點，注意到在諧振子體系中 $qequiv a+a^dagger$ 是坐標算符，於是根據題目中第二種方法的計算，我們發現

$psipsi=e^{1/epsilon^2}e^{2i(varphi^dagger+varphi)}=e^{1/epsilon^2}e^{2iq/epsilon}$

於是有

$langle f|psipsi|f angle=e^{1/epsilon^2}int dq~e^{2iq/epsilon}|f(q)|^2$

其中 $f(q)$ 是 $|f angle$ 的波函數。上面式子中的積分是函數 $|f(q)|^2$ 的傅立葉變換，我們很容易找到一個平方可積的函數 $f(q)$ ，使得上面的式子發散。作為一個例子，考慮 $f(q)=e^{-cq^2}~(c>0)$ ，注意當 $c=1/4$ 的時候 $|f angle$ 是體系的基態 $|0 angle$ ，我們有

$langle f|psipsi|f angle=e^{1/epsilon^2}int dq~e^{2iq/epsilon}e^{-2cq^2}propto e^{1/epsilon^2}e^{-1/(2cepsilon^2)}$

這裡可以看到，上面式子的極限與 $c$ 的具體數值有關，對於基態的情況 $c=1/4$ ，我們確實有 $langle f|psipsi|f angle ightarrow 0$ ，但是若有 $c>1/2$ ，則 $langle f|psipsi|f angle ightarrowinfty$ 。

因此我們發現：可以找到可歸一的態 $|f angle$ ，使得 $langle f|psipsi|f angle ightarrowinfty$ 。這個結果可能不能搬到bosonization的情況下，因為那裡的發散方式與這裡不太一樣，我需要再仔細考慮一下。

3. $psipsi$ 作用在諧振子本徵態上所得到的結果的模是趨於無窮的，即 $lim_{epsilon ightarrow 0}|psipsi|n angle|^2 ightarrowinfty$ 。（ @大野喵渣在評論中也提到了這個問題）

這裡用第二種方法得到的算符更好算一些，我們有

$psipsi|n angle=e^{1/(2epsilon^2)}e^{i(varphi^dagger+varphi)}|n angle$

取其與自己的內積得到

$|psipsi|n angle|^2=e^{1/epsilon^2}langle n|n angle=e^{1/epsilon^2} ightarrow infty$

這樣的結果仍然是可以理解的，在bosonization的環境下，此結果表示存在一個填滿的Fermi sea。在bosonization中（物理體系是Luttinger Liquid），費米子算符 $psi$ 可以寫為 [1]：

$psi(x)=frac{F}{sqrt{2pi a}}e^{-iPhi(x)}$

其中 $F$ 是Klein factor，在這裡的計算中可以忽略， $a ightarrow 0$ 是一個regulator， $Phi=Phi^dagger$ 是一個玻色場，用類似的辦法，我們可以得到 $lim_{a ightarrow 0}|psi(x)psi(x)| ext{vac} angle|^2=infty$ ，其中 $| ext{vac} angle$ 是體系的基態，注意到

$|psipsi| ext{vac} angle|^2=langle ext{vac}|psi^dagger(x)underline{psi^dagger(x)psi(x)}psi(x)| ext{vac} angle$

中間畫橫線的那一項是未經normal order的費米子密度算符，而Luttinger Liquid中所考慮的物理態（根據定義）都包含有一個無窮大的、填滿的Fermi sea，所以這一項發散也是合理的。

參考文獻：

[1] Jan von Delft and Herbert Schoeller, arXiv: cond-mat/9805275.

不是很懂bosonization，就單純從計算說下。第一個方法有個問題，你沒有做完計算，就是你還沒有合併後面的兩項。後面兩項合併後會有個e^(2/epsilon^2)，再減去前面的e^(1/epsilon^2)，答案和第二個方法一樣。

取極限時候得把整個參數都拿出來。

第二個方法展開的升降算符沒有被正規排序，認為是order 1的，我覺得這樣有失公正性