如何理解Kagome格子中的flat band？

01-08

如果只是簡單地計算Kagome格子的能帶，那麼將得到三個帶。
上面兩個帶基本上跟Honeycomb格子的結果差不多，也有六個Dirac錐。
$E=1pm sqrt{3+2cos(2k_x)+4cos(k_x)cos(sqrt{3} k_y)}$
除此之外，還有一個完全平坦的帶。

$E=-2$
應該如何理解這個完全平坦的帶？
除此之外，如何理解理解Kagome格子中出現的Dirac錐？
【雖然Kagome格子看起來的確很像Honeycomb格子，但是看起來沒有sublattice對稱性的樣子】

又是自己的問題，還是自己來回答好了。。

要回答這個flat band的問題，只從物理圖像上考慮，並不那麼令人信服。。

flat band意味著布洛赫電子的有效質量無窮大，對應到實空間就是局域化電子態【destructive interference？這個詞說了跟沒說一樣】。。然而不論是動量空間還是實空間，都不能令人信服地說明為什麼有效質量無窮大，或者為什麼電子態是局域化的。。

所以，我們需要更加數學一些的描述。

由於一個格子【lattice】實際上在數學上就是圖【graph】，所以圖論中的一些結論會很有用。。

對於給定的一個圖 $G(V,E)$ ，其中 $V$ 是頂點的集合， $E$ 是邊的集合。

定義其對偶圖 $L(G)=(V_L,E_L)$ ，其中 $V_L=E$ ， $E_L$ 為原圖 $G$ 中的兩條邊公用一個頂點。也就是將原圖 $G$ 中的邊和頂點的角色互換。這個對偶圖也叫line graph，即邊作為頂點而成的圖。

對於給定的圖 $G$ ，我們定義其關聯矩陣 $B=(b_{ve})_{|V| imes|E|}$ ，其中矩陣元 $b_{ve}=1$ 如果頂點 $v$ 和邊 $e$ 相連， $b_{ve}=0$ 如果頂點 $v$ 和邊 $e$ 不相連。

考慮矩陣 $B^TB$ 。

因為關聯矩陣 $B$ 表示一個邊和一個頂點相連，所以矩陣 $B^TB$ 就表示一個邊和一個頂點再和一個邊相連。若其中的兩個邊是 $G$ 中的同一條邊，因為一條邊總是與兩個頂點相連，則總是貢獻兩個單位陣 $2I$ 。若兩個邊不是 $G$ 中的同一條邊，則只有共用同一個頂點的兩條邊有貢獻，可以表示為這兩條邊直接相連，所以這時總的貢獻恰好是圖 $G$ 的對偶圖的連接矩陣 $A_L$ 。亦即

$B^TB=2I+A_L$

在線性代數中，我們有喜聞樂見的結論，那就是矩陣 $B^TB$ 是實對稱的，且半正定，所有本徵值均不小於零。

在這裡我們對零本徵值特別感興趣，因為零本徵值反映了矩陣的秩的信息【或者反過來，非零本徵值反映了矩陣的秩的信息，而零本徵值對應零空間的秩】。

而且特別的， $B^TB$ 的零空間等價於 $B$ 的零空間，等價於 $A_L$ 的一個具有特徵值為-2的特徵子空間。

進一步考慮實際的某個格子，其頂點數n一般遠小於邊數【儘管同量級】zn/2，其中z為平均配位數。這一點，意味著 $B^TB$ 的零空間不僅存在而且還不小，雖然矩陣有邊數那麼多的階但是秩只有不到頂點那麼多，亦即 $A_L$ 的一個具有特徵值為-2的特徵子空間不小，有大量的對應相同特徵值的本徵向量。

在這裡，必須提到一點，一個圖的連接矩陣 $A$ ，恰好就是實空間的躍遷哈密頓量。直接對角化這個哈密頓量，就能得到這個圖的能帶結構。

所以，若一個圖具有flat band，說明這個圖的連接矩陣有大量的對應相同特徵值的本徵向量。

回顧之前的結論，我們得到最終的結論：

若一個格子，是另一個格子的對偶，那麼這個格子一定有一個能量為-2的flat band。

回到最開始的問題，kagome lattice，恰好就是喜聞樂見的honeycomb lattice的對偶呀，那麼Kagome lattice就一定具有flat band，而且能量為-2。。

至此，我們可以完全地從圖論角度理解flat band的起源。

剩下的內容就是看看這個flat band對應什麼樣的態。

這一點可以通過求解連接矩陣的本徵向量得到，也就是關聯矩陣 $B$ 的本徵向量。。

如果我們沿著圖的頂點走，圍成一個圈，這個圈上每個頂點處，符號相應正負間隔排列，而不在這個圈上都是零，那麼這個態就是一個本徵向量。。對於每個圈，我們都有一個局域化的本徵態。。

所以，我們到這裡才能知道destructive interference到底是什麼意思，以及為什麼態是局域化的。。

我也在玩這個很好玩的格子。

簡單點，讓我們灌水的方式簡單點：一個Flat Band對應一個對波矢完全簡併的能帶，直接上准經典近似： $dot {vec r} = partial _{vec k}E(vec k) -dot {vec k} imes mathfrak{F}(vec k)$ ，其中 $mathfrak{F}$ 是貝瑞曲率，由於 $partial _{vec k}E(vec k) = 0$ 那麼你可以看見，這個帶上電子的運動都是由後面「幾何相位」決定的，可以構造出很多很好玩的項，詳見：

Peano, V., Houde, M., Brendel, C., Marquardt, F., Clerk, A. a. (2016). Topological phase transitions and chiral inelastic transport induced by the squeezing of light. Nature Communications, 7, 10779. https://doi.org/10.1038/ncomms10779

Petrescu, A., Houck, A. A., Le Hur, K. (2012). Anomalous Hall effects of light and chiral edge modes on the Kagom?? lattice. Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics, 86(5), 1–22. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.86.053804

以及： PHYSICAL REVIEW A 93, 062319 (2016)

等等等等。。。一搜一堆

很好的問題，不久前看過Shengbai Zhang組的一篇文章： Coexistence of flat bands and Dirac bands in a carbon-Kagome-lattice family 。

Dirac bands和flat bands是電子結構的兩種極端，通常是難以共存的。這篇文章有提到flat bands 來自於Kagome lattices的orbital interaction (wave function localization due to the destructive interference)，所以它很顯然是和Unit cell的width有關, 而Dirac bands源自於zigzag chain（類似於石墨烯結構）。詳情可參考原文。

我想問一下這個計算是用緊束縛近似算得么？只考慮最近鄰？

平帶的出現一般是由於destructive interference導致的，典型的具有平帶的格子是Lieb lattice和Kagome。關於這個destructive interference我可以安利一下去年我灌的一篇純凈水

PHYSICAL REVIEW A 93, 062319 (2016)

文章做的內容無足道，純粹是為了解決學生畢業想的餿點子，其中Section III是為了向做量子光學的審稿人科普平帶而寫的東西，可以看一看。