如何理解Nagaoka定理？

01-08

Nagaoka證明了在 $U = infty$ 時，當一個空穴被摻雜進半滿的Hubbard模型時，其基態是鐵磁態。
如何理解其基態是鐵磁態這一結果？

這個定理跟半滿時大家喜聞樂見的反鐵磁序該如何調和？
這個結論和Stoner鐵磁性有什麼聯繫？

╮(╯_╰)╭沒人來還是我自己來好了。。自己的問題要自己答才算數。。

首先一個問題是，為什麼定理要求 $U ightarrow infty$ ?

這個條件，很自然的，是滿足 Stoner 判據 $U > frac{1}{Dleft(E_F<br /> ight)}$ 的。Stoner鐵磁性，雖然作為一個平均場的模型，還是很直接地抓住了鐵磁性的起源的。。

如果我們follow一下Nagaoka定理的證明，會發現，其核心在於一階微擾給出的hopping能夠降低其能量。這就是為什麼引入一個空穴，由於這個空穴可以到處跑，所以才會有鐵磁性的基態。

那麼接下來一個問題就是，如何跟半滿時大家喜聞樂見的反鐵磁序調和了。。

反鐵磁序起源於Anderson的超交換作用，跟Heisenberg的交換作用不同地方在於，這個超交換是來自二階微擾的，需要將hopping連續作用兩次。而我們都知道，二階微擾的貢獻一定是讓能量降低的，所以半滿時，基態會有反鐵磁序。。

而Nagaoka定理中，因為 $U ightarrow infty$ 這個條件，使得二階微擾的貢獻可以忽略。所以我們才只計算了因為引入空穴才使得一階微擾非零的貢獻，沒有計算二階微擾。

如果將 $U ightarrow infty$ 這個條件去掉，假定有限大的U，並假定有N個格點，平均配位數為z【典型的正方格子其配位數為4】，那麼我們就可以簡單地計算出來，因為引入了一個空穴，其一階微擾給出的鐵磁態能量比原來降低了zt。另一方面，剩下N-1個格點因為都佔據了電子，二階微擾會給出反鐵磁序會降低量級為 $Nfrac{t^2}{U}$ 的能量。

這時我們就很清楚了，鐵磁態的能量大概為 $-zt$ ，反鐵磁態的能量大概為 $-Nfrac{t^2}{U}$ 。這兩個態競爭的結果就是，如果參雜的空穴的hopping是主要的，那麼就是Nagaoka定理的結果，如果超交換作用是主要的，那麼系統還是跟半滿時一樣具有反鐵磁序。。