集合論與範疇論和topos理論是什麼關係？

範疇論可以在NGB或者ZFC+某些大基數公理中建立，topos作為一個範疇是也是建立在集合論之中，而topos有自己的內部形式語言（直覺主義類型論），可以在topos里建立一套新的「集合論」，但是這套內部語言似乎太弱了，使用這套(某個topos的)內部語言是否能夠重新建立「內部範疇論」？即，使用這套語言像ZFC和NGB那樣定義範疇，以及定義這個topos本身？更進一步，在同倫類型論里建立「高維範疇論」和「高維topos」理論是否可行？

這問題問得有點雜，來嘗試回答一下，並不能給一個令自己很滿意的答案。涉及 HoTT 和高維範疇、高維 topos 的那個問題暫不討論。高維的 elementary topos 怎麼描述，目前還是沒解決的問題。

首先，從集合論出發的理解是，基於集合論，範疇是一類數學結構，topos 是一個特殊的範疇。按這種觀點看，集合論是基礎，範疇在中間，topos 更高級，其實比較接近代數幾何里得來的看法，也就是說 topos 是一個性質很好的範疇。從這個角度出發的話，topos 其實離數學基礎比較遠。（但是下文會提到 topos 的一些範疇論的性質，其實還是基於這種觀點的，這種描述方式對於這個問題而言並不理想，但這跟我以及大多數人受到的學術訓練有關。）

說到這裡需要澄清一下概念：代數幾何里接觸到的 topos 都是 Grothendieck topos, 也就是等價於 a category of sheaves on a site 的範疇，但是還有另外的一個 topos 的概念就是 elementary topos, 用 subobject classifier 或者 power object 定義。任意一個 Grothendieck topos 都是一個 elementary topos. 但是有些 elementary topos 並不是 Grothendieck topos, 比如全體有限集合組成的 topos: FinSET. （從這裡也可以看出區別之一，elementary topos 里只能取有限個東西的「並」/ colimit，而 Grothendieck topos 里可以取任意的「並」/ colimit.）

下文提到的 topos 都是 elementary topos.

Elementary topos 其實離數學基礎就比較近了，從這裡出發的話，觀點是，集合範疇是一類特殊的 topos. 能在集合範疇內做的事情，只要是構造性的（不涉及選擇公理和排中律），都可以在任意一個 topos 里做——比如集合論里一個集合的兩個子集可以取並集，在一般的範疇里做不到（子對象的「並」未必存在），但是在 topos 里是可以的（每個 topos 都是一個 coherent category）。

回答原題中的部分問題。從某個 topos 出發，用它的內部語言定義 internal category 當然是可以的。但是我個人有點懷疑這樣做的好處——就我的理解 topos 的好處在於不同 topos 之間的互動。一方面它是做某些事情的框架，另一方面如果某個 topos 不合適了，遇到困難了，可以換個性質更好的更合適的 topos 來做同樣的事情，然後困難就迎刃而解了。妙處在於各個 topos 相對而言是比較平等的。題主也說了，要選 「某個」 topos 的內部語言來定義範疇論，但是怎麼選，選哪個，選了之後別的 topos 怎麼辦，都是問題。這個選取就類似於打倒舊的皇帝（集合範疇這個特殊的 topos）之後選個新的皇帝（新的某個特殊的 topos），選新皇帝這件事情本身就部分地否定了打倒舊皇帝的好處。當然，在 relative setting 下，對於任意一個 topos E, 考慮 E-topos (topos + geometric morphism to E) 是有一定好處的（而且這個好處不用改變數學基礎就能享受到）。

說到這裡，推薦一本書：《Topoi: The Categorial Analysis of Logic》（Amazon 鏈接）。這本書應該能部分地解答題主的問題。它講解 elementary topos 的時候比較重視數學基礎，並且講解了一些集合論里遇到的困難，NBG 集合論這詞我都是第一次在這裡聽說的。一個比較有特點的地方是這本書雖然講的是 topos, 但並沒有假設讀者有很多範疇論的基礎（總共 16 章，第二章定義範疇，第九章定義函子，第十五章才提到伴隨函子，如果知道很多範疇論可能會因為這方面太初等了反倒看不下去）。相比其它的 topos 書籍而言，這本書可能顯得比較 「水」，比如在倒數第六頁才提到 classifying topos 這個概念。但是水有水的好處，topos 這個概念外延很廣，涉及的基礎知識比較多，很多人的知識面未必能覆蓋全部，借這本書補一補也挺好的，我就在這本書上學到了很多入門的數理邏輯方面的內容。