求這個級數的值是多少？

01-08

$sum_{i=2}^{infty }{frac{1}{i(lni)^{2} } }$ 即 $frac{1}{2(ln2)^2} +frac{1}{3(ln3)^2}+etc.$
題主用一種自己yy的方法得出了 $frac{4ln2+1}{4(ln2)^2}<sum< frac{2ln2+1}{2(ln2)^2}$ ，sum就是那個和
那麼問題來了，喪(ji)心(ke)病(nan)狂(nai)的題主覺得這個上下界還♂ 不♂夠♂緊！
於是請各路高人來獻(hua)計(yang)獻(zhuang)策(bi).
P.S.題主不才，證明還是看得懂的，所以請各位大神附上證明，謝謝啦！

PP.S.留個坑填證明
====================2016/7/26更新封割線====================
由於abccsss大神已經給出了更好的上界證明,我就不用自己的上界證明獻醜了。
下面來說說下界：
(其實硬加到913可以得到一個更好的下界，但計算和表示遇到的困難要大得多)
(其實題主是初中生一枚，在以下證明中如有不恰當之處望不吝賜教)
首先，我們來先畫一個直角坐標系，然後把 $f(x)=frac{1}{ln^2x}$ 在 $[2,+infty )$ 的圖像畫上去。
然而，機(dou)智(bi)的題主發現了兩個至關重要的事實：
1、這貨是嚴格單調遞減的；
2、這貨是下凸的。

由1、2可得，如果 $2leq n,nin N$ ，則以 $(n,0),(n+1,0),(n,f(n)),(n,f(n+1))$
為頂點做出的梯形的面積要大於 $f(x)$ 與x軸形成的曲邊梯形的面積，即
$frac{f(n)+f(n+1)}{2}>int_{n}^{n+1} f(x)dx$ (1)
把(1)兩邊用 $sum_{n=2}^{m-1}{}$ 求和，得
$frac{f(2)+f(m)}{2}+sum_{n=3}^{m-1}{f(n)}> int_{2}^{m}f(x)dx$ (2)
整理後可得
$sum_{n=2}^{m}{f(n)}>int_{2}^{m}f(x)dx+frac{f(2)+f(m)}{2}$ (3)
對(3)兩邊取極限 $lim_{m ightarrow +infty }{}$ 即可得到原結論。證畢。