康托爾集的基數為什麼是2^{?0}？

01-08

$2^{aleph_0}$ 次方是 $aleph_1$ ，為什麼以 $2$ 為底數呢？ $3^{aleph_0}$ 是不是大於 $aleph_1$ ？

謝邀。首先你需要了解一點序數和基數的概念。粗略地說，序數是自然數的一種擴展，因此自然數是序數（它們是有限的序數），而基數則是滿足某些性質的序數。與自然數類似，我們可以序數定義算術運算：加法，乘法和指數運算，這些運算和自然數的加法，乘法和指數運算是一致的。同樣地，我們也可以基數的算術運算，所以 $2^{aleph_0}$ 表示的是基數的指數運算，它可以看作是自然數指數運算的推廣，得到還是一個基數。根據基數指數運算的定義， $2^{aleph_0}$ 是集合 ${0,1}^{mathbf{N}}$ （所有從 $mathbf{N}$ 到 ${0,1}$ 的函數）的基數，也就是 $mathbf{N}$ 所有子集的個數（因為每個子集 $A$ 都對於一個從 $mathbf{N}$ 到 ${0,1}$ 的函數 $1_A$ ， $1_A(x)=1$ 如果 $xin A$ ，否則為 $0$ ）。

自然數是序數，自然數集合 $mathbf{N}={0,1,2,dots}$ 也是一個序數，它是最小的可數序數，作為序數，我們把它記為 $omega$ 。同時， $mathbf{N}$ 也是一個基數，作為基數，我們把它記為 $aleph_0$ ，所以 $omega$ 和 $aleph_0$ 表示的都是自然數集合 $mathbf{N}$ 。

基數 $aleph_1$ 的定義不是 $2^{aleph_0}$ ，它的定義是所有比 $aleph_0$ （嚴格）大的基數中最小的那一個。Cantor"s theorem告訴我們 $aleph_0<2^{aleph_0}$ ，所以 $aleph_1leq 2^{aleph_0}$ ，但我們不知道等號是否成立。事實上，這個命題與ZFC公理體系是獨立的，連續統假設說等號是成立。

由於 $mathbf{N} imes mathbf{N}$ 和 $mathbf{N}$ 有相同的基數，因此 $aleph_0 imes aleph_0=aleph_0$ ，因此 $2^{aleph_0}=2^{aleph_0 imesaleph_0}=(2^{aleph_0})^{aleph_0}$ ，所以對於 $2$ 和 $2^{aleph_0}$ 之間的基數 $alpha$ 都有 $alpha^{aleph_0}=2^{aleph_0}$ ，特別地對於每個自然數 $n$ 有 $n^{aleph_0}=2^{aleph_0}$ 以及 $aleph_0^{aleph_0}=2^{aleph_0}$ ，所以這裡 $2$ 可以換成別的自然數。