晶體中電子的德布羅意波長是多少？

01-08

對於量子阱，當阱層的寬度小到可以與電子的德布羅意波長相比擬時，電子的波動性表現得十分明顯，這時在量子阱內低於帶階的電子能量不再取連續值而只能取離散的量子能級。
層厚度小於電子德布羅意波長才能形成量子阱，那麼電子德布羅意波長是多少？或者這種結構中電子能量是多少？
這種結構中的電子能量應該是導帶中各個電子能級處所處電子的能級值，但是求出來的能級是相對的？

naive的說，電子的德布羅意波長應該是跟電子的動量相關的，也就是說可以根據能級差大概估計出來。

而且用量子力學最簡單的無窮神勢阱來思考的話，不管勢阱有多寬都會有量子效應，只不過太寬
的勢阱會產生很小的能級差，應該就是題中量子效應不顯著的意思。

同時，勢阱越寬，低能級的電子的德布羅意波也越長，但是如果溫度帶來的擾動可以很容易的讓電子到了很高很高的能級，這時候波動性就不明顯了，電子的德布羅意波也就遠小於勢阱寬度了。

也就是說這裡面的電子的德布羅意波應該按照體系的溫度來計算，溫度越低，擾動越少，電子的波長就越長，就算是很密集的能級依然可以觀察到量子效應。

2015-12-02

德布羅意波 (de Broglie wave) 又稱物質波，是 1923 年由法國物理學家路易德布羅意 (Louis Victor de Broglie) 提出，是指所有粒子都存在波動的特性，例如電子經過雙狹縫會幹涉，物質波的波長又稱德布羅意波長。而物質存在粒子與波動的特性，就是所謂的波動-粒子二相性 (wave-particle duality)。根據德布羅意的假設，粒子的物質波波長 λ 是由 λ=
h/p 來決定，其中 h 為普朗克常數、p 為粒子的動量。

溫度為 T 的氣體，平均每一顆分子的動能之數量級為 KBT：

其中 KB 為波茲曼常數。但由於

故溫度越高時其動量 p 越大，而所對應的德布羅意波長就越短。如果分子與分子之平均間距遠大於此德布羅意波長，例如：一大氣壓下，室溫 (300 K) 的氦原子氣體平均間距約 3 納米，而德布羅意波長約為 0.1 納米，則這些氣體分子便可以利用古典的氣體動力論 (kinetic theory of gases) 來描述。但若是原子平均距離約等於或小於德布羅意波長時，每個原子在空間上不再像是一個小質點，而必須完全考慮其波動特性，此時原子的行為會跟古典很不一樣，這種系統就要考慮量子的各種特性(包括量子的特殊統計行為)，也衍生出很多有趣的現象，例如物質波的干涉、費米氣體等等。

電子的電荷是 1.6×10^-19 庫，質量是 0.91×10^-30 千克，經過 200 伏電勢差加速的電子獲得的能量 E =Ue = 200×1.6×10-19 焦 =3.2×10^-17 焦。這個能量就是電子的動能，即 0.5mv^2 = 3.2× 10^-17 焦，因此 v = 8.39*10^6 米／秒。於是按照德布羅意公式這運動電子的波長是 λ = h／(mv) = 6.63*10^-34／(9.1*10^-31*8.39*10^6) = 8.7×10^-11 米，或者 0.87 埃。

我來試著回答一下。

在晶體中，電子並非自由電子，它會和周圍的電子云、原子核（離子實）的勢場產生相互作用，會產生一個橫跨整個晶體的、沒有衰減的波，這個波有特定的"能量"(勢能+動能)，然而它的動量並不是像自由電子那樣確定的。

想像一下，一個自由電子，它的波有一個波矢k，是一個波長為2π/k的，振幅為A的完美的平面波（e^ikx）。

然而，對於晶體，其中一個電子的狀態是k的話，那它的振幅A會被周期性勢場所調製，變得和周期性勢場具有同樣的周期性(bloch定理)。因為不再是完美的正弦函數，所以傅里葉變換也會出現諸多的分量，代表不同的動量。所以在晶體裡面談論電子的動量，再根據動量算電子的德布羅意波長是沒有意義的。因為它是一個mixture.

這個k被稱為電子的准動量。