坐標係為什麼是正交的？

01-08

有沒有平面銳角或鈍角坐標系呢？直角坐標系帶來的好處是什麼呢？

幾何上還有仿射坐標系、射影坐標系啊。

直角坐標系用來解決和長度，角度有關係的問題。

仿射坐標系用來解決保持線的平行性的問題。

射影坐標系用來解決點和線的關聯性的問題。

這個可以有，但是非對角項什麼的，想想就心塞，為了解決坐標投影的問題還要引入協變基矢和逆變基矢，這些都搞懂了之後，新世界的大門正在向你敞開~微分幾何歡迎你，進來就不要再出去了(╯‵□′)╯︵┻━┻

正交的好處就是交叉項為零

比如說有兩個 $N$ 維矢量 $vec{A}=(A_1,A_2,cdots,A_N)$ ， $vec{B}=(B_1,B_2,cdots,B_N)$

它們的點乘（在代數里叫做內積）本來應該是

$vec{A}cdotvec{B}=(A_1B_1+A_1B_2cos heta_{12}+cdots+A_1B_Ncos heta_{1N})+cdots+(A_NB_1cos heta_{1N}+cdots+A_NB_N)$

其中 $heta_{12}$ 是指1坐標軸和2坐標軸之間的夾角，顯然這個式子會有 $N^2$ 項

但是由於正交性，所有下標不同的分量求積都是零， $A_1B_2cos heta_{12}=cdots=A_1B_Ncos heta_{1N}=0,cdots$

可以簡化成 $vec{A}cdotvec{B}=A_1B_1+A_2B_2+cdots+A_NB_N$

只剩下 $N$ 項了

大大簡化了計算

基本上，在你明白這個問題之前，你學到的坐標系都是正交的，笛卡爾坐標系，柱坐標，球坐標（二維情形下柱坐標和球坐標退化為極坐標），都是

當你用到不正交的坐標系的時候，已經不會問這個問題了

提醒一下上面的答主，無論極坐標還是球坐標，柱坐標本質上還是正交的，原因你可以想想分析力學，下面答題：坐標當然可以不正交，最常見的例子應該是晶體學裡面晶胞的坐標吧（比如三斜晶系的坐標），實際上無論正交不正交都是為了實際應用的方便，不正交也有不正交的好處，雖說多了個G矩陣，但晶體學的公式表達變得更簡潔了啊。（G矩陣是咋回事，@胡楊已經解釋了本質，題主可以想想）。

更深入的非正交性體現在流形上，先挖個坑，以後填坑。。。。。

你樂意的話也可以不正交，乘個矩陣把一個面旋轉一下就不正交了

這個你要問笛卡爾，當然也有非正交的

我覺得線性代數能解釋這個問題。但是我當年學的不好這裡就不嚴謹的說了，線性代數里討論過正交性。貌似是這樣一個互相正交的三個維度能夠保證你在一個軸的投影不會干擾另外兩個軸。

嚴格來說，坐標系只是解決問題的方式，你完全可以用別的坐標系。舉個栗子，在一些問題中人們更喜歡用球坐標系。另外在研究一些多體問題的時候人們喜歡jacobi坐標。坐標，就是方便使用的工具。成熟的坐標系，往往會保證幾個坐標相互正交。

假如你是大學生水平，建議閱讀線性代數。

因為方便