狄拉克符號有什麼優越性？體現在哪裡？

01-08

百科裡說「狄拉克符號在量子力學理論表述中有兩個優點：1.可以毋需採用具體表象（即可以脫離某一具體的表象）來討論問題。2.運算簡捷，特別是對於表象變換」

這種問題不適合問百度...

要說優越性就要拿眾所周知的另外兩種量子力學框架1、積分形式（薛定諤）2、矩陣形式（海森堡）來比較，正好當初看過這3爺們的諾獎論文，就從dirac符號本身及建立簡單說下（避免公式恐慌，不引用任何公式）

狄拉克符號：&

可形象的理解為一個粒子/波 &>通過了一個儀器A（測量）&>之後所呈現出來的結果(粒子/波的狀態）

如果你試過同時用微積分（薛定諤形式）、矩陣（海森堡形式）、和dirac符號寫出最基本薛定諤方程的的x-p（位置-動量，即所謂的表象變換）空間變換，就會發現積分形式需要寫積分號、dxdp、波函數相位因子的正負（就算你不寫出來也要多用一個*來表示共軛波函數）；矩陣形式就更麻煩了，你需要寫幾個碩大的括弧，還要用...來表示這是無窮維的)；而dirac符號你只需要寫一個左矢在一個左右矢上投影就行了。再比如考試的時候叫你寫完備性條件和歸一化條件之類的，看著身邊同學彎彎曲曲的寫上各種積分號正負無窮上下限而你只需要輕輕鬆鬆的寫一個背靠背的左矢右矢

況且狄拉克符號可以輕易被鍵盤打出來：|phi&>，更利於傳播，誰要有本事給我打一個積分形式的試試

--------------其他----------

代數上的簡潔（包括可以自然證明完備性條件等）

自然承接經典力學（hamilton力學）的力學框架

眾所周知，最初的力學體系是牛頓力學，牛頓時代的人們都還很天真純樸，生活在時間均勻流動的三維空間中，研究的對象也十分形象具體（小車，鐵球...），認為只要知道小車的位置隨時間的變化關係就能知道小車在各個時刻的演化過程。但後來事情的發展越來越出乎意料：人們發現粒子是不連續的，粒子是波動的，時間是相對的...原來的牛頓力學體系的古典思維不適合了（事實上現在生活中絕大部分人都還潛移默化的按照牛頓力學思維體系思考問題，可見其影響之深遠），於是人們傾向於採用更加抽象的hamilton力學體系來描述問題，在hamilton體系下坐標是廣義的，時間是可逆的,Dirac做的其實就是將粒子是波動的加入進這個框架中。稍加留意的話你會發現dirac的量子力學體系是直接借（chao）鑒（xi）的哈密頓力學框架的正則形式（只不過不對易條件從0變成了-ph），很多問題都是從經典力學就開始考慮並且承接過來的，包括對不對易啊，possion括弧啊...所以第二個原因是因為其力學框架足夠抽象，以至於可以方便的適用于越來越抽象的研究對象。（薛定諤從流體力學的角度寫出薛定諤方程，薛定諤方程的解表示粒子/波的狀態/位置隨時間的演化，類似於當初的牛頓力學）以至於可以方便的適用于越來越抽象的研究對象，當然後來量子場也沿用了這一形式是後話。

抽象且形象

狄拉克符號的左右矢體系形象代表了測量過程：&

表示粒子/波從q狀態經過儀器A最後呈現出狀態p的振幅！而振幅的平方自然地表示一個粒子/波的強度，即某種狀態出現的概率！非常的直觀，薛定諤方程的解用狄拉克符號寫出來可以形象地看出是"一個粒子/波 &>通過了一個儀器（測量）&>之後所呈現出來的結果(粒子/波的位置）"。

有興趣可參考:

[1]P.A.M Dirac (1925).The fundamental equations of quantum mechanics

[2]Born, M., Heisenberg, W., Jordan, P. (1926). Zur Quantenmechanik. II. Zeitschriftfür Physik

[3]哈密頓力學

使用前：

原產於在秘魯和墨西哥，最初被稱為「狼桃」的，全體生粘質腺毛，小葉極不規則的，大小不等，卵形或矩圓形的，邊緣有不規則鋸齒或裂片的水果或蔬菜反射全譜可見光後主要的波長和人類的血類似。

使用後：

西紅柿是紅的。

物理上更基礎，數學上更體系，應用上也更美觀。

「狄拉克符號」這種叫法太不專業（是受某北大教授量子力學暢銷書毒害？）。|s&>叫做態矢，標記一個量子態，注意它能表示任意一個量子態。它是希爾伯特空間的一個矢量，運算遵循希爾伯特代數。百度百科第一點說得很對，相比於態矢直接表示一個量子態，無論是波函數還是矩陣都是量子態在某個表象下的表示，即在某組正交完備的基矢下展開的係數。狹義的波函數是某量子態的坐標表象表示，其實是坐標本徵態矢與|s&>的內積&，推廣了也可以是其他空間比如動量表象、角動量表象的表示，而矩陣是某離散表象的表示。態矢不受表象的限制，表示任意一個量子態。

使用方面，波函數僅在處理連續表象比較方便，而矩陣僅在處理離散表象比較方便，而態矢不受此限制，在良好定義的希爾伯特空間展現它驚人的魅力！

一個態投影在不同表象空間可以得到不同表象下該態的波函數，而研究態的性質或演化並不須要限定在某一表象中，Dirac notation可以表示一個態。

For special cases like spin which do not possess classical analogue, we dunt have position/momentum space representation and there is no wavefunction to talk about. You could only assume the Dirac notation and find out the general angular momentum.

因為量子力學是研究態的科學

Dirac notation是表示態的符號

更換不同的表象不會改變態的本質

另外還有就是寫起來方便，無論是內積求和矩陣表示或者許多小技巧都好用，

表象變換的過程是否可以理解為一種「測量的過程」呢？

和 Einstein summation convention 一個性質，就為省個求和號/積分號。summation convention 里指標變成連續的，也就是積分了。區別只是上下指標配對變成了 Dirac notation 里的相鄰 bra ket 配對。之所以相鄰 bra ket 配對，原因是中間夾的算符可能很多（特別是在 QFT correlator 里），都 explicit 帶積分變數太麻煩了

至於說優越性，無非是 summation convention 里變換 indices 的 symmetry 是 explicit 的，比如 Lorentian symmetry ，方便你用 kronecker delta。dirac notation 里類似