Mathematica 直接計算二重極限（double limit）的格式是什麼？

01-08

WolframAlpha 可以求出結果

但Mathematica 沒有固定的格式可以直接算二重么? 還是只能分兩次?
只是好奇有沒有可用的格式? 不用自己定義的

單純從 Mathematica 語言的語法上說，好像 Limit 函數自己不帶對多個變數取極限的功能。你可以用 Fold 不嚴格地對各個變數分步取極限

In[22]:= Fold[Limit, (x^2 + y^2)/(1 - (1 + x^2 + y^2)^(1/2)), {x -&> 0, y -&> 0}]

Out[22]= -2

或者定義一條逼近路徑，然後對參數取極限

In[27]:= Limit[(x^2 + y^2)/(1 - (1 + x^2 + y^2)^(1/2)) /. {y -&> a t, x -&> t}, t -&> 0] Out[27]= -2


In[28]:= Limit[(x^2 + y^2)/(1 - (1 + x^2 + y^2)^(1/2)) /. {x -&>

    r Cos[t], y -&> r Sin[t]}, r -&> 0]

Out[28]= -2

如果被計算的極限是存在的，那上面那幾種方法都可以計算，而且結果應該相同。

不過這樣做數學上不嚴格，所以盲目用可能會得到錯誤的結果，比如下面的結果其實是錯的

In[24]:= Fold[Limit, (x^2 + y^2)/(x + y), {x -&> 0, y -&> 0}]


Out[24]= 0
In[25]:= Limit[(x^2 + y^2)/(x + y) /. {x -&> r Cos[t], y -&> r Sin[t]},

 r -&> 0]

Out[25]= 0

。如果沒記錯的話，多變數實函數的極限如果因為逼近路徑不同而計算出不同結果，那就認為極限不存在，嚴格證明得用 epsilon-delta 法。實際計算的時候，可以考察一下單位圓上的值，比如

In[32]:= Simplify[(x^2 + y^2)/(x + y) /. {x -&> r Cos[t], y -&> r Sin[t]}]

Out[32]= r/(Cos[t] + Sin[t])

顯然，如果逼近路線是 y = -x, 則極限計算結果為無窮，其他情況計算結果為 0, 所以一個統一的極限值不存在。

Let me google it for you:

functions - Finding Limits in several variables

calculus and analysis