如何評價P. W. Anderson掛出的文章：Last words on cuprates？

01-08

[1612.03919] Last Words on the Cuprates
對高溫超導的研究領域會有什麼樣的影響？

試著翻譯了一下，緩慢施工中。可能有偏差，歡迎評論。

Last
Words on Cuprates

P.W.Andrson
下面將要說明的大部分已經包含在我之前的著作「外史」里，可以在ArXiv上找到，編號1011.2736
[1]。然而關於銅氧化物的相關研究文獻依然不斷出版，其中很多並未參考我在那篇文章中奠定的基礎。我認為是時候分發一下我在那篇文章中得到的結論以及一些新想法。

[1]原文給出的編號錯誤，此處已修正。

首先，我不得不指出，很多論文的封面中幼稚的討論中所謂「問題」，並不是真正的問題：關於超導本身的基本事實也好，伴隨超導出現的大部分反常現象也好，現象的能標也好，並不神秘。正如我在1987年Science的論文[2]中所說，超導電子對間最重要的相互作用是所謂「超交換相互作用」，也正是這個相互作用使得欠摻雜銅氧化物成為反鐵磁莫特絕緣體。在那篇論文中我指出相互作用的性質與類鮑林型化學共價鍵十分相似，因而這種相互作用將單重態電子對結合起來，形成銅原子間移動的價鍵，也就是超導載流子。

[2]P.W.Anderson
Science 235,1196(1987)

在兩年之內，兩篇論文運用了這個相互作用，以及基於這篇Science論文中的想法所發展出的數學範式，給銅氧化物中「d波」提供了超導定量和粗糙的描述。其中一篇屬於Rice和合作者[3]，他們使用Spalek和Rice的重整化的、投影「t-J」哈密頓量，並應用蒙特卡洛法求解。另一篇是Kotliar和一位學生基於隸玻色子投影技術[4]，本質上和t-J模型等價。值得一提的是，在當時人們並沒有考慮d波的可能，更遑論確認，也就是說這是一個重要的預言，比實驗確認早了至少5年。這個預測的一個特點是，它明確指出了能隙在動量空間節點上消失，這是其他方法無法說明的。這個現象源於此系統中一種特別的機制，我稱作「自旋電荷鎖定」[5]。

[3]F
C Zhang, C Gros, T M Rice and Shiba, J Superc Sci Tech 1,1,1988

[4]G
Kotliar and J Liu, Phys Rev B 38,5132(1988)

[5]P
W Anderson, Phys Rev Lett 96 017001(2006)

Edegger，
Gros以及其他人在2006年給出了這類平均場理論一個頗為完整的展示[6]。

[6]B
Edegger, C Gros, V N Muthukumar and PWA, Phys Rev Lett 96, 203002,
(2006)

我想強調的是，用「自旋漲落」這個詞來描述配對相互作用（正如Scalapino，Pines的人所做）是不恰當的。「自旋漲落」一詞源於Doniach，Schrieffer等人，用於描述鐵磁臨界點附近可能的費米子-費米子長程相互作用，在邏輯上可以視作費曼圖理論在近鐵磁費米液體中的延伸。反鐵磁超交換[7]無法從單純的費曼理論[8]推得，和臨界點附近的漲落也沒什麼關係，許多用這樣的理論擬合參數的嘗試只會引起困惑。而且可以論證，實際的相互作用在時間和空間上是短程的。

[7]P
W Anderson, Phys Rev 115, 2 (1959)

[8]See
the Wikipedia article on 「Instantons」, especially the section on
Holstein‐Herring
Theory

反鐵磁運動學交換作用和鐵磁直接交換作用的混淆已經折磨了幾代研究者。特別地，全尺度數值方法的確指向d波超導[9]，因為它們本就蘊含所有相關的物理；但用費曼圖中的概念，如頂點或自能重新詮釋這些結果只會得到誤導性的結論。如果我們想要預測材料特性，而非單單研究其基態的話，我們需要一個低能有效理論，這時解析而非數值方法是必不可少的。當實驗觀測清楚表明材料的表現不符合傳統的Eliashberg理論，通過對Eliashberg理論調參擬合數值結果是無用的。

[9]J
Scalapino, cond‐mat/0610710

傳統的費米液體理論中，費米面附近電子和空穴一定是對稱的。然而在真空隧穿試驗中，電子和空穴的格林函數表現出了普遍和顯著的不對稱，這時證實傳統理論失效的最重要實驗效應。我很困惑，為什麼理論家們普遍拒絕直面粒子空穴不對稱這個明顯的事實。這件事告訴我們，任何理論嘗試的第一步必須是「Gutzwiller」型投影變換（由Kohn定型[10]），使得哈密頓量中與空穴雙佔據態[11]相關的矩陣元全部排除。投影變換的效果是，運動學交換作用的自洽處理成為可能

[10]Walter
Kohn, Phys Rev 133 A, 171 (1964)

[11]原文double
occupancy of holes。對此我很困惑。

我希望宣傳Gros，Edegger，Muthukumar等人的一系列論文[12]，他們基於上述理論輪廓給出了數值結果，這些結果與實驗事實在一些細節上的確吻合。

[12]B
Edegger et al, Adv in Phys 56, 927(2007); 同[6];
C Gros et al, PNAS 103, 14298 (2006)

第二個早已被發現且應時刻牢記的事實是，超導轉變溫度的限制來自渦旋漲落的熱激發。最初是1987年，由PWAnderson和Baskaran[2]，以及隨後的Fukuyama指出，轉變溫度的最強限制來自超導漲落。但是整個社區正確地關注到了Emery和Kivelson[13]——他們在1995年定量地展示了轉變溫度Tc和超流密度 $ho_s$ 之間的線性關係。正如Uemura所強調過的，這意味著Tc是一個「BKT」型渦旋增殖相變，發生於熱解耦的銅氧平面。這個關係持續到超過超導圓頂最大的Tc，清楚地表明BKT相變才是超交換機制下超導轉變溫度的基本限制。無論實驗上還是理論上，通過投影對ρs的重整化正比於 $g=frac{2x}{1+x}$ ,x為摻雜比，因此Tc在低摻雜是顯著下降。有效反鐵磁交換積分的重整化隨著x增加而減小，正如我用Brinkman和Rice的方法估計過的一樣[14]，Tc也隨之下降，形成我們熟知的圓頂形相圖。

[13]V
J Emery and S Kivelson, Phys Rev Lett 74,3253 (1995)

[14]P
W Anderson, J P Chem Solids 63, 2145 (2002)

雖然很多教科書並未提及，BKT相變並不是從超導到普通金屬的相變。BKT理論中，位於轉變溫度以上的相沒有破壞超導配對場，只是使得其相位無序，於是一個時空依賴的 $ho_s(r,t)$ 出現於Tc之上，並且在Tc附近其幅度與Tc之下相近，只不過失去了長程相位剛度。在二維情況下，流體中流的動能可以寫作兩項之和，第一項是所有有著對數型相互作用（ $E_{ij}=q_iq_j(h^2 ho_s/2m)ln(r_{ij}/a)$
）的渦旋對的求和。這裡q是渦旋i的渦環量的符號，a是核心半徑， $r_{ij}$ 是渦旋對間距離。這一項來自傳統BKT理論，允許轉變溫度之上渦旋的增殖，賦予金屬以電阻。但渦旋的密度在超過Tc後沒有立即發散，而是以 $exp(-2/sqrt{T-Tc})$ 型增長，以至於在Tc並沒有一個奇異的導數。在Tc以上一定範圍內，我們可以假設超流體可以被視作一個渦旋液體，即「Ong渦旋液體」。這一體系止於一個更高的轉變溫度，關於這一部分的性質我尚不清楚。

渦旋陣列的動能的第二項與單個渦旋的位置無關，只依賴於總渦度，並且隨著樣品的上截斷尺寸發散： $E_2=(sum_i q_i)^2(h^2 ho_s/m)ln(R/a)$
在標準的BKT相變討論中，我們假定總渦度為零以去掉這個發散，但卻沒有覺察這個假定等價於以下命題——即使在零外場、轉變溫度以上，整個系統保持了某種拓撲序，在任何足夠大的環路上凈渦環量為零。然而這隻在沒有外磁場的情況下成立，在有外磁場的情況下，去掉發散的正確做法應為：總渦度與凈磁通密度匹配，正如昂薩格，費曼和Abrikosov幾十年前指出的一樣。這一項顯然不受渦旋位置影響：無法通過對液體中熱激發渦旋的重新排列將其屏蔽。BKT理論的教科書式處理中沒有強調這個略反常識的結果，而正是這個結果導致了渦旋液體中顯著的抗磁性和能斯特效應，這一點於2000年被觀察到，並被Wang,Li和Ong仔細研究[15]。

[15]PWA,
cond.mat/0603726

未配對同類渦旋的密度的效果是模仿均勻磁場引起的大尺度流動，所謂大尺度，是相對於未配對渦旋間距而言，可粗略取為 $R_B=sqrt{hc/2eB}$ 。我們的論點是流的能量可以被尺度大於 $R_B$ 的未配對渦旋密度所屏蔽，但是渦旋量子化所導致的流的粒度在比 $R_B$ 小的尺度上無法忽略，所以每一個渦旋（其密度正比於B）提供正比於ln(R_B/a)也就是1/2
ln(1/B)的自能，總能量正比於BlnB，這正是欠摻雜銅氧化物的抗磁性和能斯特測量中出現的BlnB依賴的來源，當我們在磁場-溫度平面上越過名義上的Tc時相應測量結果依然顯著地連續，即使超導在Tc以下是三維的而在Tc以上是二維的，也不影響這個結果。

----------------2017年1月14日更新-----------------（這一部分不懂得東西有點多，所以一些地方翻譯的準確性和流暢性有點欠缺，歡迎評論指出。）

另一個引人注目的現象是中等摻雜和高外場下銅氧化物的量子振蕩。特別地有一個向著電荷密度波相的相變，在那個相中存在一個三維費米口袋，其特性在釔鋇銅氧的「otho-2」摻雜中被最透徹地研究過。從Ong和其他人對此的廣泛研究中看來，這些現象只會出現於超過約18T的閾值磁場下，這樣的磁場強度會摧毀能隙節點附近較小的能隙，使得費米口袋成長為費米弧，並（如Sebastian和Harrison所描述的一樣）通過與晶格畸變的散射相互重新連接——基本可以認為這是一個電荷密度波引起的磁擊穿（或者也可以認為這是磁擊穿引起的電荷密度波）。整個現象不會影響到遠離節點處較大的能隙，這些能隙只有在遠高得多的外場（即上臨界場 $H_{c2}$ ）下才會消失。關於這點的相圖摘自[16]。

[16]F
Yu et al, PNAS 1612591113(2016)

相圖中理論理解最好的部分是配對轉變（通常稱為 $T^*$ ）的右側和上側，在這裡材料表現出所謂「奇異金屬」的特徵：霍爾係數在低溫下升高，電阻與溫度呈線性，以及最重要的，紅外電導中冪率的Drude
tail（由van
der
Marel建立[17]，並由Schlesinger和Bontemps跟進）。這一區域可以想像為t-J模型的延拓，在這裡超交換相互作用J可以視為重整化的動能tx的微擾。所有的現象都是由排除空穴雙佔據態的矩陣元的Kohn-Spalek-Rice投影變換所引起的。

[17]D
van der Marel, et al, Nature 425, 271, (2003)

大U情況的形式討論從未被明確寫出，但其實不過如下所述：當我們向著臨界值 $U_c$ 增加U時，梯形圖（ladder
diagram）發散，在給定的U有一個Luttinger-size的費米面，其零能費米激發的衰減率正比於 $omega^2=(E-E_F)^2$ ，而在費米面上其壽命達到無窮，成為一個精確的激發。

至少有一點是可能的：這些精確的激發組成的Luttinger容量的費米面，會持續存在直到U_c以上。

這一點事實上是隱費米液體理論的基本假設， $U_c$ 以上的低能激發態的希爾伯特空間可以通過那些激發表示出來，但限制是其中雙佔據態需要被投影排除，因為梯形圖的發散會導出雙佔據態對應的「上Hubbard能帶」。這些能態不應算作費米能級附近的激發所組成的希爾伯特空間的一部分。

我們用重整化的贗粒子算符 $c_k^*$ 、 $c_k$ 來表示費米型激發，它們的傅立葉變換是局域算符 $c_i^*$ 、 $c_i$ 。於是排除雙佔據態的Gutzwiller型投影過程可以通過投影算符 $P=c_{i,-sigma}c^*_{i,-sigma}$ 的作用來實現。Rice等人的平均場理論，以及Kotliar等人等效的理論，還有後來Paramekanti等、Edegger等，用平均期待值來替換投影算符（在Pretko早期的文章中錯誤地重整化了微擾理論給出的交換相互作用的強度[18]）。然而隱費米液體理論觀察到常規費米液體中投影算符的格林函數有在在 $omega=0$ ， $q=0$ 處消失的代數奇點，因此投影算符並沒有一個真正的平均值，這源於費米海基態的糾纏性質。此奇點與常規金屬的X射線邊問題（即「正交災難」）中的奇點是同類代數奇點。這個問題與場論中的「手征反常」相關聯，兩者都由費米型流體的深度糾纏所引發，並都會影響所有能級。隱費米液體理論在計算複合算符的格林函數上，選擇了最簡單的一條路徑，即將格林函數表示為兩個分量的乘積。

[18]M
Pretko, Senior thesis, Princeton Physics Dept (2012)

當我們轉向欠摻雜區域時，一個額外的複雜性出現了。下自旋投影算符乘上上自旋粒子含有一個分量，可以被想做下自旋粒子 $c_{i,-sigma}^{*}$ 乘上一個自旋算符 $S_i^+$ 。這會在隧穿譜中導致新的結構，尤其是幾十meV的「軟模」的共振頻率處，這個結構會被（甚至曾被）誤解為與超導能隙的起因相關。

而在最佳摻雜的超導體中這個反常變得不那麼嚴峻，因為能隙允許紅外端收斂，於是平均場理論本應得到相當的滿足，正如Anderson和Ong在投影BCS理論對隧穿數據的擬合中所展現的一樣[19]。隧穿數據似乎也確定了能隙零點的存在，再次確定了能隙是實數值而非複數。

[19]P
W Anderson and N P Ong J P Chem Solids 67, 1 (2004)

相圖中仍有一些細節我尚不能透徹理解，我曾提到過Ong渦旋液體相的溫度上限，這個界限似乎相當銳利並且會導致一個依舊保留一些配對特徵的相。我也不願裝作理解了這個區域的輸運行為；我給出了 $h/ ausim T$ 的推斷，但這個論證十分定性。

但最穩定的現象是，在我們假定配對最初出現的T^*線附近，有某種時間反演對稱性破壞的證據，以及最近所發現的二次諧波生成。應當強調的是，對於低溫時的能隙零點，由熱傳導和熱霍爾傳導實驗[20]得到的無可爭議的證據證明了完善的能隙是實值的，能隙零點是被保護的，因此論證了基態的時間反演不變性。然而因為自旋電荷鎖定所以來的能量項在配對轉變處不再重要，也許配對轉變比我們所預想的更複雜，並為T^*附近出現一個複數能隙相（「d+id」）保留了可能。否則我不得不承認，對於這些現象我未能找到一個合理的解釋。

[20]N
P Ong, PWA et al ,Phys Rev Lett 86, 890(2001)

在最後，讓我稍稍聊一下材料科學中問題的解決策略。首先我們必須認識到，與粒子物理和宇宙學不同，材料科學中的問題往往是超定的而非欠定的。我們有太多的數據，任何不與數據中的顯著事實相違背的假設都很可能是正確的。等價地，很容易排除掉錯誤和無關的想法。

舉例而言，在相當完善的超導態中一系列顯著事實包括：低有效質量，完善而穩固的帶隙的零點（即實值帶隙），以及無序導致的失超轉變。扮演中心角色的即非雙極化子，亦非環路電流和時間反演非對稱（這一點雖然令人困惑，但是次要）；超流體密度的重整化隨x線性下降，而不隨其他因素改變。其次，最簡單的理論為能標和核心性質（d波， $t^2/U$ ，能標隨摻雜增加的快速下降，非對稱的格林函數）提供了顯然的滿意解釋。並不意外的是，在低摻雜下，由於動能急劇減少，一些成分會會展現非勻質的相，但無任何證據表明有著數十毫電子伏帶隙的超導現象會被這些細節所深度影響；相反，他們更傾向於與之競爭。所有關於『超導謎團』的小題大做，基本是理論家為了有利可圖的職位杜撰出來的。

（完）

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一點私貨及補充及段子（自行分辨哪些是私貨，哪些是補充，哪些是段子，畢竟反轉有時候來的太突然）

要問對高溫超導研究有何影響，Anderson文中最後一句話說的很直白——「所有關於『超導謎團』的小題大做，基本是理論家為了有利可圖的職位杜撰出來的。」
當然，這不代表本人贊同Anderson觀點，拒絕查水表。
高溫超導這個話題，已經被宣稱終結好多次了，不熟悉的同學不必驚訝……
忘了在哪裡聽到的，「你不能決定戰爭是否結束，你的敵人才能」，高溫超導的現狀某種意義上在挺符合這句話的，大佬們好多年間不斷強調問題已經解決了，很多主流期刊不喜歡相關投稿，基金也不願發給相關課題，卻依然止不住另外一些大佬自帶乾糧，時不時發表新見解……
想知道爭議點在哪裡，就不能只看Anderson自己的說法了，幾個近期的例子：[1407.4480] Theory of Intertwined Orders in High Temperature Superconductors；[1306.5359] Hartree-Fock Computation of the High-Tc Cuprate Phase Diagram；[1409.4673] High Temperature Superconductivity in the Cuprates。
文中一些段落其實意有所指，關於費米液體那段很可能是針對Laughlin的，因為Laughlin主張在應從費米液體理論出發。另外一些人，雖然同意t-J模型作為高溫超導的有效模型，但不同意Anderson的解法，文中關於自旋漲落的一些話似乎是指向這一派。當然我也了解不多，就當是道聽途說和望文生義好了。
Anderson怒斥群臣：當朝大學士，統共有五位，朕不得不批評四位，諾獎得主，朕不得不批評一位。看看這幾個人吧，哪個不是兩鬢斑白，哪個不是學界的棟樑，哪個不是朕的親密戰友，他們搞錯了，朕心要碎了！Mott把江山交到朕的手裡，卻搞成了這個樣子，朕是痛心疾首，朕有罪於學界，愧對老愛，愧對天地，朕恨不得自己罷免了自己！還有你們，雖然個個冠冕堂皇站在朝上，你們，就那麼懂嗎？朕知道，你們當中有些人，比這幾個人更不懂！朕勸你們一句，都把自己的腦子翻出來，曬一曬，洗一洗，拾掇拾掇，好好讀讀我以前的論文！
其實可以換個角度想，一個科學問題在怎樣的程度才可以宣稱被解決了，這本身就是一個問題，不知科學哲學的同學們怎麼看待這件事。