如何從維度和物理意義等角度分別理解定積分、曲線曲面積分、重積分？

01-08

謝邀。

定積分：1形式在直線上的積分；d=1

曲線積分：1形式在曲線上的積分；d=2

二重積分：2形式在平面區域上的積分；d=2

曲面積分：2形式在曲面上的積分; d=2

三重積分：3形式在空間區域上的積分；d=3。

然後還有非數學專業高數不講，而數學專業數分一般會講的，n形式在n維流形上的積分。比如我記得復旦數分教材上有例題要求算n維球面的n維面積，也就是對體積形式積分。

至於說積分有什麼實際意義？積分是一種很寬泛的操作，正因為寬泛所以它可以有很多種物理意義，比如功、流量、通量等等。非要找一個幾何直觀的話，那麼可以這麼說：如果是對體積形式直接積分，積出來自然是流形的體積。如果是對一般的n形式積分，那麼它總可以看成一個函數乘以體積形式（當然假設流形可定向，不然我們就要對density，也就是「微分形式的絕對值」進行積分），那麼把這個函數看成某種「權重」，算出來的積分就是某種意義上的「加權體積」。

PS：這幾天正好在給我的學生講二重三重曲線曲面積分，可惜這些東西都沒法跟他們講，因為跟他們講個球坐標柱坐標都費了半天勁，唉。。

都沒人願意答嘛。。。

定積分（黎曼積分）是基礎，二重，三重以至n重積分都是定積分在高於二維情況下的推廣，特別的，這種積分都是定義在一個「平直」的區域，也就是說被積函數都是定義在直線，平面，方體；由此出發，將定積分的積分區域由直線變成曲線，就得到了第一類曲線積分，將二重積分的積分區域由平面變成曲面，就得到了第一類曲面積分；二類線面積分是從物理應用（最主要就是場論）中推導出來的，所以沒有特別的幾何意義。二類線積分是求一個向量函數在一條曲線的的特定方向的點積的積分，也就是平常說的求功或者求環流量；二類面積分是求一個向量函數沿某個特定方向通過一個曲面的通量；

這幾種積分可以相互轉化，之所以說定積分是基礎是因為其他的積分最終都要通過轉化為定積分計算。

PS：我的描述不嚴謹，「平直」，「由直線變成曲線」，「由平面變成曲面」這些都是大白話，嚴謹的話應該用測度描述。如果大家想更深入嚴謹的了解積分，我推薦找一本測度論或者實變函數的書，裡面還會包括各種稀奇古怪的積分，每一種積分都對應一種測度。