為什麼距離（度量）要滿足三角不等式？
01-08
有什麼深刻的原因么？
首先，這是歐式空間度量的自然推廣。二維的三維的是這樣，我們認為度量都應該這樣，這是數學中常見的抽象方法:把本質的性質提煉出來當做定義，原來的常見的結果對抽象的一類東西都可以用了。群、線性空間等定義都是這麼定義的。
其次一點我認為比較有用的，也是上面的回答沒有提到的，就是在數學證明過程中經常需要這一條。最顯著的就是分析中常用的逼近技巧，先證明對好的函數成立，對一般的函數用好的函數去逼近結論也成立，這就需要三角不等式來控制誤差。這種方法在實分析，泛函分析，方程，調和分析中都特別常見，是標準的技術。這一條是我們從日常語言的「距離」中抽象出來的一條屬性，不是刻意這麼定義的。
因為要講邏輯，要適用於自然界，要符合我們日常所見的二維空間和三維空間，簡單地講，一個度量空間要被人們所接受才能稱之為well-defined。
三角不等式的本質其實就是為了說明"直路比彎路短"這一事實。三角不等式最重要的一點在於將不同的點與它們的距離聯繫在一起。如果僅滿足正定性和對稱性，我們甚至都沒法保證兩個球的交中間可以有一個小球。這將導致距離無法在X上誘導一個拓撲，自然也無法研究與距離相關的極限和連續，那麼我們要它何用。
不滿足三角不等式的叫實正值函數括弧名字瞎起的
不好意思，我剛才有種情況沒考慮，就是有的三元組滿足，有的不滿足的情況。如果是這樣，那麼空間可以是非平凡的。例如，
上直線全體構成的空間，以歐式距離誘導的集合間距離為度量，這個空間在平行直線間滿足三角形不等式，若取三條直線有且只有兩條平行，就會出現反三角形不等式。
因為這樣的空間很平凡。
首先我們假設空間4. 反三角不等式
與同時性矛盾，故這樣的空間
現在我們把條件4.變弱，反三角不等式三個變數必須不全相等
我覺得最關鍵的是要捕捉到微分學建立和極限之間密不可分的關係。 仔細想想，極限的唯一性是依賴於三角不等關係的。 所以一旦沒有三角不等關係，沒有極限的唯一性，就沒辦法建立我們的歐氏微分學
目前我們使用的距離（度量）都是滿足三角不等式，在傳統的教材裡面距離度量的定義就是需要滿足四個條件：非負性，對稱性， 不可區分之同一性 （identity of indiscernibles），和三角不等式，這樣的度量的物理意義很簡單明了，大家都可以接受。
在機器學習裡面的度量學習中，identity of indiscernibles這一條不成立了（當矩陣是半定的時候），我們也默認稱之為度量學習，只是不是傳統意義上我們定義的度量。
所以，我認為只要你能找到一種度量或者距離，它能擁有物理意義，大家都可以接受，也可以不滿足三角不等式，關鍵看能否能解釋清楚，有意義價值。
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