非線性系統線性化後設計控制律？

對一個非線性系統設計非線性控制律，和將這個非線性系統線性化設計線性控制律，這兩種控制效果對同一系統差別很大嗎？

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首先要說清楚什麼叫線性化了之後進行設計線性控制律，什麼叫直接設計非線性控制律。

常見的線性化有三種：

(1)在平衡點附近進行線性近似。

(2)輸入輸出線性化。

(3)狀態反饋線性化。

然後把系統看作是線性系統，使用極點配置、根軌跡等經典設計方法進行控制。上述三種方法都有一定的問題，（1）的問題在於，線性近似只在平衡點附近成立，如果狀態遠離這個平衡點，結果可能會很糟糕；（2）（3）都有一個建模誤差的問題，因為非線性太難討論，我還沒見過這種線性化的魯棒性的問題，希望 @Yu Jiang大師兄能給點點評。就個人實踐來看，對模型準確性還是要求挺高的，小的線性化誤差會引起額外的震蕩，需要引入額外的阻尼或者干擾抑制。（2）的更大問題在於可能會有不穩定的internal dynamics，（3）的大問題在於設計的時候太困難。

然後說直接設計非線性控制律，其實上面的（2）（3）往往都引入了非線性控制律來線性化系統，你如果問的是這種控制律，那麼兩者沒什麼區別。如果問的是李雅普諾夫穩定方法，非線性滑膜這樣的純的非線性控制律，那麼兩者走的完全是不同的路子，要具體問題具體看，沒有統一結論

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非線性強時，差別會很大。

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首先控制器就不同，一個是線性的，一個是非線性的。那麼即使原系統本來就是線性的，在這兩個不同的控制器下的響應也可能差很遠。所以這樣比較不適合。

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影響因素很多，線性化的前提是你有個工作點，或參考軌跡，沿著這條軌跡做線性化。控制器設計出來後，如果實際跑的軌跡距離參考軌跡很近（或者說你的模型非線性度不高），那麼控制效果會好一些。

非線性控制方法（幾何，滑模，或者直接構造李雅普諾夫函數的比如自適應之類）理論上能提供大範圍的穩定性，缺點是算出來的控制率往往奇形怪狀一些，在實際系統中容易受到各種不理想因素的影響（比如不加soft range的滑模控制，系統有延時就很容易炸）。另外大範圍穩定性往往是建立在巨大的control effort之上的，往往模擬效果很好，一看control value根本沒法實現

所以我的結論是如果實現得好的話，直接用非線性控制可能比線性化方法有更大的contraction region.

其實還有第三種可能性，你線性化不是怕跑偏么，跑偏是因為你拿來線性化的參考軌跡選得不好，那幹嘛不選條好的？這種思路催生出一系列方法，比如微分動態規劃，迭代地同時優化線性控制器和參考軌跡本身，最終給你一個線性控制器，和一條跑出來線性度好的軌跡。另一種更霸氣的是，為了避免系統跑到遠離參考軌跡的狀態，乾脆多找幾條參考軌跡分別線性化設計控制率，這幾條參考軌跡把整個狀態空間都cover了，這樣無論你在哪裡，用距離你最近那條軌跡的控制率就好了，這樣來找到近似的全局最優解，實現大範圍穩定。參考Chris Atkeson的Trajectory library

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