標籤：

數學數學符號

為什麼 sin^2 中的上標表示平方，非 sin^{-1}, f^2, f^{-1} 中那樣表示複合？

01-08

$sin^2(x)=(sin x)^2$ ，而 $f^2(x)=f(f(x))$ 、 $f(f^{-1}(x))=x$ 、 $sin(sin^{-1}(x))=x$ 。
為何 $sin^{2}$ 的語義如此反常，有怎樣的歷史？

個人猜測，可能是由於 $(sinx)^{2}$ 比 $left( sinleft( sinx ight) ight)$ 常用一些。

重載。

…………

符號系統確實讓人頭疼。學程序正確性證明的時候硬生生把謂詞表示理解成函數表示。回過神來彷彿已經是另一個世界。

不過我不覺得這種符號表示的多義使用會有什麼更深層的歷史原因。更有可能的情況是初次使用者隨手拈來的，只是後來在規範化的過程中考慮了習慣性的因素。在考慮衝突的時候要麼暫時找不到更好的表達形式，要麼其它好的表達形式已經被第三語義佔用了。

就直接承認這是一個「錯誤」好了。

在不同的體系裡面，你可以用不同的符號系統。比如lg,log,ln這幾個符號在不同領域不同時期的書籍或者文章中，可能代表不同的意思。還有虛數單位，有時候用i表示，有時候用j表示。這都是可以接受的。

但是從來沒有見過同一本書或者同一篇文章裡面，在前面兩個例子上使用有衝突的符號系統。

與其給這種做法找理由，不如直接承認這是一個讓人難受的錯誤。

按照我目前的知識，梳理一下這幾種情況：

$left(sin x ight)^2$ 可記為 $sin^2x$ ，表示對 $x$ 取正弦值再平方；
$fleft[gleft(x ight) ight]$ 可記為 $left(fcirc g ight)left(x ight)$ ，表示先對 $x$ 應用 $f$ 再應用 $g$ ；
$f^{-1}left(x ight)$ 表示 $fleft(x ight)$ 的反函數。

對照題主的說法， $f^2left(x ight)$ 表示的是 $left[fleft(x ight) ight]^2$ ，而不是 $fleft[fleft(x ight) ight]$ 。

我覺得就是初等代數裡面為了表示方便，不願意寫 $(sin x)^2$ 而發明的一種簡寫（確實初等代數里基本不會出現 $sin sin x$ ）。顯然這是一種 Abuse of notation。

正弦函數 sin 是一個 $mathbb{R} o mathbb{R}$ 的函數，自然是實函數的複合群里的元素。在這個意義上把 $sin^2$ 理解成 $lambda x. ~ sin (sin x)$ 才是最自然的，這樣也與 $sin^{-1} x = arcsin x$ 相一致（群的逆元）。

sin（x）^2 （sinx）^2

因為方便啊

推薦閱讀：

※中文字體和西文字體中全等號「≌」上半邊為什麼是反的？但相似號「∽」卻是統一的，然而拉泰赫卻只有「~」？
※斜率為什麼用k表示？
※偏導數的符號怎麼讀？要正規的。?
※這個符號怎麼打出來？求助求助？

TAG:數學 | 數學符號 |