震蕩電路向外輻射電磁波功率和震蕩頻率四次方成正比怎麼證明？

01-08

如題

我不明白你的振蕩電路的模型是什麼，不過可以證明，對於半徑 $a$ 遠小于波長 $lambda$ 的通電圓環，輻射功率是正比於頻率的四次方的，具體是通過磁矢勢計算的。

其中 $eta$ 等於頻率除以 $c$

郭碩鴻電動力學p197-198

當然還有個問題就是，振蕩電路為什麼對應電偶極輻射？你可以想像，電路裡面的電子都在振動嘛……

還有個簡單易懂的說法，因為震蕩電磁場是由電荷的加速運動產生的，所以強度和電荷的加速度成正比，加速度和頻率平方成正比，能量又和場強平方成正比，所以就是四次方了。

這是忽略高階項只算電偶極輻射和磁偶極輻射的結果，高階的如電四極輻射是與頻率的六次方成正比。

要證明的話，任何一本電動力學書都會有從達朗貝爾方程解推遲勢開始的推導吧。

與頻率的關係在推導過程中的體現就是：

首先功率與距離r的關係是能流密度乘4πr^2，所以能流密度只有r^(-2)項才有遠場輻射。解方程得到A和φ各是幾項相加，與r的關係有r^(-1)的也有r^(-2),r^(-3)的，但是考慮到能流密度E×B/μ是r^(-2)，只有A和φ的r^(-1)項才能產生B和E的r^(-1)項，而這些項都與頻率成正比；B和E是A和φ對時間空間的導數，與頻率平方成正比，兩者相乘得能流密度就是頻率的四次方。

光子的能量和頻率成正比

功率和震蕩頻率成正比（在天線理論里，一個周期放出一群光子吧，可以這麼說）

剩下的平方關係由冰冰來解釋

字有些小。費曼物理講義卷一32章第2小節，The rate of radiation energy.

2016-01-13

還真湊巧，所有頻率的輻射總能量與溫度的四次方成正比（史蒂芬-波茲曼定律，E =σT^4）。電磁波的能量正比於頻率四次方。瑞立散射：當顆粒小於可見光波長時，散射強度與波長的四次方成反比。

電磁波是電磁場的一種運動形態。電與磁可說是一體兩面，電流會產生磁場，變動的磁場則會產生電流。變化的電場和變化的磁場構成了一個不可分離的統一的場，這就是電磁場，而變化的電磁場在空間的傳播形成了電磁波，電磁的變動就如同微風輕拂水面產生水波一般，因此被稱為電磁波，也常稱為電波。

以電磁波形式傳播出去的能量叫做輻射能。對於振蕩電偶極子，可以得到輻射強度為：

把輻射強度在波面上積分可以得到振蕩電偶極子的總功率，即輻射功率：

這個公式被稱為拉莫爾公式。其中，p0為振蕩偶極子電距的振幅，ω為頻率。

所以說：輻射能量 (P)與頻率(ω)的四次方成正比；輻射能量與距離的平方成反比，這是球面波的特點。

費曼的比較詳細。推導直至關於偶極矩p的二階導的表達式你應該都能找到，p=q*l，l是偶極矩。電荷q不變時p的二階導就是l的二階導，就是加速度。把偶極子看作振動的諧振子，根據表達式就能得到w的平方了，再平方就是w的四次方。

電磁場理論基礎第八章天線什麼技術基礎的，應該有證明