想像（腦補）出四維空間的樣子是什麼體驗？

01-08

對於我們這樣生活在三維空間的三維物種來說，要想像四維空間的樣子是十分困難的。為了讓你的三維大腦對四維空間產生一些模糊的感受，一個好辦法就是讓一位生活在二維空間中的扁片人來到三維空間，體驗一下不同維度下的感受。我們不妨也從這個角度開始分析吧。

A先生是一位生活在二維空間中的扁片人。我們邀請他參與回答這個問題的目的是為了分析三維人進入四維空間後的體驗，所以我們假設A先生擁有和我們相似的能力。比如，雖然他的眼睛只能看見二維空間中的線條，但是他可以通過明暗、透視和雙眼視差等方法感受二維物體的形狀。這一切都由他的二維大腦完成。

當A先生觀察這個正方形的時候，他的雙眼看到的圖像是不一樣的。

他的大腦可以把兩個不同的圖像組合起來，試圖理解這個二維圖形的形狀。這個過程和三維人類大腦通過視網膜上的二維投影來理解三維世界是一樣的。

現在，我們把A先生從二維空間中拎出來，放到三維空間中，並賦予他在三個維度上自由移動的能力。

雖然A先生來到了三維世界，但他仍然是一個二維的扁片人。他的一切生理結構，包括眼睛和大腦，都是為了適應二維世界而設計的。所以，他的眼睛還是只能看到點和線；他的大腦還是只能識別二維圖形。我們可以認為，A先生還是處於一個虛擬的二維空間中（下圖中的淺綠色平面），只不過這個二維空間可以跟著他在三維空間中移動。

現在，A先生面對一個長方體。他看到的實際上是這個長方體和虛擬的二維平面相交的部分，也就是一個長方形（上圖中的黃色圖形）。

如果A先生在第三維（z軸）上移動，他會發現那個長方形也跟著他移動，而且大小和形狀都不不變。如果A先生在三維空間中旋轉（以y軸為中心），他會發現面前的長方形大小不斷改變。這種情況無疑會使A先生和讀者們感到十分無趣，所以，我們給他一個複雜一點的場景。

這次，A先生來的一個立方體面前，並且讓他的虛擬二維平面和立方體的對角線EC（下圖中的綠色虛線）垂直。

然後，A先生沿著對角線EC移動。在移動過程中，虛擬二維平面會和立方體的頂點相交。這時平面切割立方體形成的圖形十分關鍵，它決定了在整個移動過程中，A先生會看到什麼圖形。

1. 首先，平面和E點相交。A先生會看到他的平面上出現一個點。然後，這個點擴展成一個三角形，並逐漸變大。

2. 當平面和頂點A、H、F相交時，A先生看到的圖形是三角形AHF。

3. 當平面和頂點B、D、G相交時，A先生看到的是倒立的三角形BDG。

4. 最後，平面和頂點C相交。A先生看到的圖形重新變成一個點。

5. 所以，在這4個瞬間，A先生看到的分別是以下4個圖形。

而在這4個瞬間之間，圖形會平滑變形，比如，從點變成三角形，從正放的三角形變成倒立的三角形。在兩個三角形之間，過渡圖形是逐漸變化的六邊形。在上圖中，我們只是列出了平面與立方體頂點相交時產生的圖形。

閑話休提，書歸正傳，我們還是來看看你進入四維空間後，會看到什麼情景吧。和A先生一樣，雖然你進入了四維空間，但是你仍然是一個三維的人，無法看見四維物體。你也存在於一個虛擬的三維平面內，只能看見四維物體與這個平面相交形成的三維圖形。

註：這裡的「平面」是指比空間維度少一維的形狀。在三維空間中，平面是二維的。在四維空間中，平面是三維的。我們不妨牽強附會地把它叫做三維平面吧。

要從上面的分析推導出四維空間的情形，我們需要一個簡單的工具：帕斯卡三角（帕斯卡三角形（三角形矩陣）_百度百科）。想必多數人對這個名字都不會陌生。

帕斯卡三角中隱藏了一個秘密：多維立方體被低維平面沿著對角線方向切割時，會產生什麼圖形？比如，我們上面對三維立方體進行了分析，得到了4個圖形，它們的頂點數分別是1、3、3、1。這4個數字就藏在帕斯卡三角的第三行。

要想知道四維的超立方體被三維平面切割會產生什麼圖形，我們只需要看看帕斯卡三角的第四行。它包括5個數字：1、4、6、4、1。所以，在這個過程中，你會看到下面這些圖形。

1. 首先，你會看到一個點。

2. 這個點在三個維度上膨脹，變成一個4個頂點的三維圖形：正四面體（tetrahedron）。

3. 然後，正四面體會逐漸變成一個6個頂點的三維圖形：正八面體（octahedron）。

4. 下一步，正八面體會重新變形成為4個頂點的正四面體。

5. 最後，正四面體收縮成一個點，並最終消失。

也許你想挑戰一下自己的空間想像能力，那麼不妨看看帕斯卡三角的第五行，想像一下五維的超立方體被四維平面切割會是什麼情景。

如果你看過我的另一篇回答：如何想像諸如超立方體之類的四維空間物體？ - 知乎，也許你會發現上面描述的過程和一個超立方體穿越你的三維空間實際上是一樣的。那麼，我們還有什麼必要親自去四維空間走一趟。待在家裡等著一個四維物體從我身邊經過就行了。

其實，這兩種情況還是有區別的。

比如，A先生只能直接看到他的虛擬二維平面中的圖形。然而，來自第三維度的光線也會從不同的方向進入這個平面，甚至直接落在他的視網膜上。對於身在四維空間中的你也同樣如此。這些光繞過了晶狀體，無法成像，所以你會看到一些難以名狀光怪陸離的光影。

另外，如果你真的得到了一張體驗四維空間的入場券，在啟程之前請一定要三思，因為這實際上是一張通向地獄的門票。我們還是請扁片人A先生來做一個演示吧。

當A先生在他的二維家鄉的時候，他所有的內臟都穩穩噹噹的安放在體內，沒有任何危險。當他來到三維空間時，他的內部結構在第三維上完全暴露在外了。如果你進入四維空間，相同的事情也會發生在你身上。沒有什麼東西能夠阻止你的內臟在第四維方向上掉出體外。由於內臟大多數是相互連接的，所以它們大概不會稀里嘩啦滾落一地。不過它們晃晃悠悠的掛在體外的時候，應該無法執行它們正常的功能了。不要去細想這是一幅什麼樣的場景。我看過的恐怖片也沒有一部達到這個血腥程度。如果一個四維的智慧生物看到這一幕，估計夠他做幾天噩夢。

這還不算完。你體內的液體也會迅速從第四維方向流出來。而剩餘的少量液體也會由於充分接觸空氣而很快蒸發掉。所以，你應該沒有時間去欣賞四維空間的奇妙景象了。如果古埃及人發現了四維空間的秘密，估計會把它當成快速製作木乃伊的捷徑。不過我們這樣的三維凡夫俗子還是老老實實地坐在家裡，期待有一天一個超立方體從眼前經過吧。

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擴展閱讀：

如何想像諸如超立方體之類的四維空間物體？ - 知乎

我疊了一個莫比烏斯帶，二維生物是什麼樣的感覺？ - 知乎

說真的，想要想像高維空間是什麼樣子，趕緊去學線性代數。。

學完之後，就能想像高維空間是什麼樣子的，不但能算各種高維空間的東西，還能在紙上給你畫出來。。

有木有感覺那些搞相對論的天天在紙上畫各種四維時空簡圖算各種時空曲率神馬的簡直狂拽炫酷吊炸天。。

結果湊近一看，只畫了一個二維坐標系，寫的都是看不懂的 $g_{mu u}$ 。。

樓上各位想像力都太豐富了，數學系渣渣表示，遇到復曲面的時候我從來只會畫個2維平面或者一個圓圈。。。

Ludwig Schlafli在19世紀就提出了數學意義上的高維度空間並對4維的一些幾何體進行了研究。

cynosural field:【紀錄片】維度：數學漫步【高清備用】(3)_科技人文

另外，其實四維空間並不如科幻小說中想像的那樣美好，很多三維空間的宏觀或者微觀結構在四維空間將變得不穩定，因為引力和電磁力會按立方反比衰減。所以，儘管不能完全想像四維空間的樣子，但是大概可以想像出四維宇宙的樣子——一鍋雜亂無章的基本粒子稀湯。

這個道理其實很簡單，大學多元微積分級別的知識就能理解，引力場和電磁場（靜電場）在三維空間中，按照高斯定理（矢量穿過任意閉合曲面的通量等於矢量的散度對閉合面所包圍的體積的積分），對於這兩個場有：穿過一封閉曲面的電通量/引力通量與該曲面包圍的電荷/質量成正比。或者換種說法也一樣，電場強度/引力場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷/質量成正比。

然後我們考慮一個以場源（點電荷、質點）為球心的球面，這樣的話場在封閉球面上的面積分就是場強與球面的面積的乘積，對於同一個場源來說這個乘積就是一個定值。當然，稍有常識的人都能看出，三維空間中二維球面的面積是4πR^2，既然面積與半徑/距離的二次方成正比，那場強自然需要與半徑/距離的二次方成反比才能保證高斯定理成立。——這就是萬有引力定律和庫侖定律是平方反比形式的數學原因

當然，高斯定理也能推廣到高維空間，對於四維空間來說，其當中的「球面」是三維超球面，其「超表面積」自然與半徑的立方成正比（英文維基的圖片公式刷不出來，我真是日了椛了），那麼同樣的，場強就需要與半徑的立方成反比才行。所以，四維空間中，萬有引力定律和庫侖定律是按照立方反比形式工作的。

別看從平方反比到立方反比這麼一點小小的變化，這將使行星和恆星的軌道不再穩定——更可能的是，星際塵埃根本無法形成天體。再進一步，電磁力的立方反比也將導致（我們熟悉的）原子及原子核尺度的微觀結構不復存在，四維宇宙中，可能除了一盤散沙般的基本粒子無規則運動著充滿著空間就什麼都沒有了。

感謝這個平方反比定律主導的三維宇宙吧。

大一的高數基本都還給老師啦，有什麼說錯了輕噴

嘗試一下，各位輕拍。待整理 ————

人類再次登上了月球。

在這萬眾矚目的時刻，宇航員遙望著天空中的藍色地球，卻發出了一聲感慨:

「我們的宇宙為什麼是三維的呢？真是太奇怪了。」

地球上的指揮人員不知道他為什麼忽然想到了這個問題，正想開口說話，可是這個時候一個神一樣的智慧接管了他們的通話頻道。

在幾聲嘈雜的電流噪音過後，一個沉穩的聲音在宇航員耳邊響起:

「你們的宇宙一直是四維的。」

宇航員嚇了一跳，「你是誰？」

「我是製造你們宇宙的創世主——準確的說，我是一個四維的廚子，而你們宇宙是我攤的一個三維烙餅……」

「烙餅？」

「對，就像你們的廚子把一勺面料滴到平底鍋上，攤開形成了一個二維烙餅。我把四維物質攤開形成了一個三維烙餅。」

「你是說宇宙大爆炸嗎？」

」從你們的角度看，這個世界是從一個點膨脹開來的，可其實它是一勺具有四維厚度的面料攤開的，餅在三個緯度越攤越大，可在第四個維度越來越薄……

最終，你們世界在w軸上的厚度，只有一個普朗克常量。你們的世界從宏觀上看來是三維的，而微觀量子層面是四維的。」

因為你們的觀測儀器只能收集xyz軸的信息，無法收集w軸的信息，所以你們也弄不清楚電子運動軌跡的不確定性是怎麼回事。」

宇航員說「也就是說，我們不可能看到四維空間的景象嗎？」

它想了一下，回答「倒也不是，我可以把手上的鍋鏟稍微放開一下，讓一個宏觀的物體釋放到四維空間。」

宇航員激動起來，他迫不及待的說「太好了，請你讓我看看吧。」

「這樣吧，」它又想了一下，「我先把地球釋放到四維空間……」

話音剛落，地球忽然從宇航員眼中消失了。

「怎麼回事？」宇航員大聲喊起來，忽然他想到這個「神」可能給地球在w軸上添加了一個恐怖的推力，那地球上的生物可就遭殃了，他忙問到「你把地球移動了多遠？」

「只移動了一個普朗克長度的距離」它說，「因為地球只有那麼厚，所以移走你就看不到了——你的視覺系統只能沿著xyz軸掃描，所以你是看不見w軸往上一個單位的地球的。地球的位置基本沒變，所以月球仍然會繞著地球轉動。」

「地球在w軸上那麼薄……」它說，「我必須得小心維持著它的形狀，否則它會因為引力縮成一個原子大小的四維小球……」

宇航員彷彿看到一個廚子小心翼翼的把一小片薄餅拿起來，生怕這個薄餅皺成一團。也許是因為干這事太費操作，有好一會兒它都沒說話。

再過了一會，宇航員發現地球原先所在的地方出現一個暗色的小點，這個小點慢慢的變大，然後開始變紅、變亮，當這個紅色的點變成西瓜大小的面時，他可以清楚的看到這個圓有著洋蔥狀的分層結構，由外向里經過幾個不連續的亮度突變，在最核心的地方亮度堪比太陽。

宇航員再仔細觀察了一下，他發現圓的核心有著細微的漩渦狀的紋理，在不斷的緩緩轉動。

宇航員再看了一會，忽然意識到這不是個球體，因為它沒有根據太陽光的照射有著明暗關係，結合這個圓形的圈層關係來看，他認為這個圓是地球的剖面。

宇航員操作了一下，在面罩里調出地球同步衛星上的畫面。地球剖面在不同角度的衛星觀察下，呈現為寬窄不一的橢圓形。這證實了他的判斷——這個地球剖面是一個平面。

「我把地球沿w軸移動了幾十公里，然後沿著經過球心的x軸，旋轉了九十度。」它說。「由於旋轉，地球與你的三維世界只相交於一個面，所以你看到的就是這個截面的景象。」

「我明白了」宇航員說「我們一直以為地球是個連續閉合的幾何體，朝各個方向旋轉看到的都是它的表面，但其實它沿著w軸太薄，旋轉的時候就可以看到它的內部。」

「沒錯，就像廚子總是可以看到烙餅裡面放了什麼料，但平底鍋里的螞蟻只能看到烙餅的邊緣。只有廚子把烙餅從鍋里拋起來，螞蟻才可以看到烙餅的裡面。」

幾分鐘時間裡，它忽然又不說話了。隨著地球剖面漸漸變小、變暗，宇航員想像著它在努力的一邊旋轉著地球，一邊艱難的維持地球在四維空間的完整性。

當暗色的小點消失在太空中不久，地球忽然又出現在宇航員視野中。他發現自己禁不住高興的喊了一聲，因為這種折騰實在是太冒險了。

但是宇航員沒高興太久，他漸漸發覺了地球有些異樣，他一下子想不起來到底哪不對，因為地球的位置、大小、白色雲層下的藍色海洋、褐色的大陸都和往常一樣……

不對！忽然之間他明白了，地球大陸的形狀和以往一樣，但是面向他的日本島，竟然出現在了歐亞大陸的西側——地球被沿著z軸鏡像了。

「地球被我在四維空間旋轉後顛倒了。」它的聲音再次響起，「就像烙餅拋起後翻了個面朝下。」

宇航員趕緊在頭盔里放大了地球的監視圖像，在畫面上的籠罩著太平洋的氣旋方向，也被翻轉了。

他翻閱了地球傳來的電視視頻，發現地球上的一切物體都被鏡像了，人類右撇子都變成了左撇子，文字都變成了倒著寫，連車行道也換了個方向。

「地球生物的dna也被翻轉了，生物攝入的右旋葡萄糖也變成左旋葡萄糖，而人類是無法吸收左旋糖的，所以為了避免大滅絕，還是儘快把地球翻轉回來……」

宇航員焦慮的看著地球忽然消失，然後再次經歷了之前翻轉的一幕，重新出現在原先的位置。這一次，地球完全恢復了原貌。

「確實很壯觀，」宇航員大聲對它說「可是，我終究還是只看到了一個三維物體在四維空間的運動。」

「那麼，你還想看什麼呢？」

「我現在還是像在一隻待在平底鍋里的螞蟻，視角被鎖定在既有的xyz軸，不能看到四維空間的全貌，」宇航員說，

「你能不能把我沿w軸拋起來，看看你們的世界？」

「這好辦」，它說「就像剛才地球一樣，我也把你拋到四維空間就好了。不過，四維物體都很小，剛才地球人什麼都看不到。」

宇航員等了一會兒，似乎它在準備著什麼。忽然他眼前一黑，腳下的月球、地球、太陽和星空都消失了——這說明，他被沿w軸拋了起來，就像一隻被拋入空中的螞蟻。

不知道過了多久，宇航員眼中出現了一個耀眼的光點，光點忽然擴大，一眨眼就形成了一圈環形的光帶。隨著光帶像漣漪一樣向四周擴散開去，在圈內的白光漸漸的變紅、變暗。

在變暗了的紅色光暈里，出現了密集的、一閃而過的光斑和星星。隨著外圍的環裝光帶掃向遠方，出現在中心區域的光斑和星星變得越來越暗，也越來越稀疏。

宇航員嘗試著捕捉那些一閃而過的光斑形狀，他留意到有些光斑有很多個漩渦狀的懸臂，另外一些可以看出來是橢圓形的漩渦。

「這就是宇宙大爆炸的景象嗎？」

「不，這是你們宇宙的剖面，」它說，「在四維空間里，你沒有辦法控制自己的視野朝相對w軸旋轉。所以，我把你旋轉了一下，讓你的視野從你們宇宙的邊緣掃向中心。」

「就像剛才看到的地球剖面一樣，你看到的是宇宙的截面。」

「那個光環就是宇宙膨脹中的邊緣，你從這裡可以看到這條邊界，然而卻不可能在三維宇宙中接近它，因為它膨脹得比光速快。」

宇航員看著光環飛快的擴散到看不見的遠方，眼前形成了一片星辰組成的平原。和三維中球狀的星空不同，這些星辰速度極快的出現又消失，像是一片沸騰的火花組成的海洋。

當這片海洋在上下左右都蔓延到盡頭的時候，只過了很短的時間，光環又快速的收縮回來，然後所有的景象都收縮成一個光點，消失在黑暗之中。

在黑暗之中，宇航員眼前出現了一組大大小小的異形體，這些形體前後交錯排列著，不斷變大，然後融合成一個完整的土豆形。

他知道，這是至今為止，人類見到的第一個四維物體了。眼前的大土豆，應當就是它軀幹的三維投影。

隨著眼前大土豆不斷的震動，宇航員聽到了它的聲音。

「這只是我的虛擬景象。我距離你很遠，因為我們四維物體質量非常大，相當於億萬個普朗克厚度的三維形體的疊加。」

所以如果我出現在你附近的話，你將會被巨大的引力壓成粉末。」

宇航員看著它，問出了第一個、也是最重要的一個問題:「那麼，為什麼要把我們宇宙壓縮成三維的空間呢？」

「我在我們世界是一個廚子」它說，「廚子的作用就是把食物處理成可以食用的狀態。」

「在我們四維世界，質量和半徑成四次方成正比，雖然各種基本力的表現和三維世界不盡相同，但我們世界的物體，都太重太重了，以至於我們很難進食吞下四維物體。」

「做個不大恰當的對比，」它說「在你們地球上，人類可以利用到的礦產和能源，只佔到地球微不足道的一小部分。你們人類只是生活在地球表面-10米以上、100米以下的極薄的一層表皮，其實如果把視角拉遠來看，你們只是生活在一個三維球體的二維生物。」

「這是因為引力太過強大，開掘成本過高。在不遠的未來，就像所有剛進入太空時代的三維文明一樣，你們會選擇把自己的行星拆解，形成一片二維的物質雲，這樣你們就可以很方便的展開作業面，直接接觸到行星內核的礦產。」

「這個問題在四維星球上更為嚴重，雖然引力在四維隨著距離衰減比三維快的多，但在單位半徑的四維球體里，物體的密度比三維要大很多倍。巨大的引力，導致天體半徑只要大於一個網球，就會塌陷為黑洞，而這個網球大小的天體，質量已經相當於你們整個宇宙。所以，我們在巨大的引力下很難進入到密實的四維星球內部，四維文明也只是生活在超球體表面的二維生物。」

「我明白了，」宇航員說，「所以你把一個四維天體拆解成三維宇宙，然後你們就可以從w軸進入到它內部，抽取這個宇宙中任何一點的資源。」

「就像貪心的食客會挑著吃餡餅上的草莓」它說，「已經有人把你們宇宙挑著吃出了一個個空洞。在你們眼裡，宇宙的絲狀結構中存在著一個個巨大的空洞，那裡的真空中不存在任何物質，其實那是我們四維文明進食的結果……」

「原來如此！」

「……在這個已經被吃的千瘡百孔的三維宇宙中，你們還會發現一些難以理喻的詭異現象，比如暗物質和暗能量。你們很難理解是什麼物質為星系提供了額外的引力，也很難理解是什麼力量在攪動著宇宙。其實這是我們四維世界巨大的引力，從你們看不見的w軸上作用於三維宇宙的結果。」

宇航員被它的話震驚得哆嗦了一下，「那麼，你們打算什麼時候吃掉我們呢？」

「現在不急了，」它說，「因為三維宇宙孕育了人類文明。你們的登月活動證明，人類有不斷探索宇宙的好奇心。」

「我們登月對你們有那麼大意義？」宇航員不由得暗自驕傲了起來。

「就像乳酸菌之於乳酪，毛菌、酵母菌之於豆腐乳，」它平靜的說，「你們人類這種充滿擴張慾望的生物，終究會走上大規模改造宇宙的路子——大規模的低熵與高熵的重新組織，總是會讓三維宇宙充滿了別樣的口味。所以我會耐心的守候到那一刻，讓你們把吃剩的三維宇宙殘渣，重新變成一道可口的佳肴。」

「原來在你們眼中，人類終究與細菌沒有區別，」宇航員略感失望，「不過好在宇宙可以因此延續百億年的生命。」

「不用感到失落，」它說，「作為一個廚子，我非常珍視你這個能幫我做好食物的幫手。」

「為了答謝你，」它說，「我可以讓你短時間的成為一個四維生物，用四維生物的眼睛看看世界。」

「可是我現在已經看到你了啊。」宇航員奇怪的看著眼前顫抖不已的大土豆。

「不，你的視覺還是三維的，你的視網膜只能收集三個維度傳來的光線，生成二維的圖像，然後利用左右眼的圖像差異製造三維的縱深感。而我卻能讓你具有四維的視力，自主的在四維世界探索一段時間。」

「那太好了！」宇航員說，「請你開始吧！」

宇航員眼前一黑，在失去視力的幾分鐘時間裡，他不知道四維廚子在對自己的眼睛動了什麼手腳，因為它可以從w軸進入，像在圖紙上塗寫一樣直接改造自己的身體。

幾分鐘過後，宇航員眼中慢慢浮現出一個模糊的藍色球體。他能大致分辨出是地球的形狀，但他就像是變成了高度近視眼一樣，完全分辨不出眼前朦朧景象的細節。

「人類的大腦只能處理2000*2000解析度的圖像（400萬像素），我讓你具有四維視覺後，你眼前的圖像就只相當於160*160*160的解析度。這個解析度下很多東西都看不清楚，所以我還得仔細優化一下你的大腦，讓它具有更好的圖像處理能力」

「不過我不能把你的大腦改造得太厲害，否則你的人格完整性都會受到影響。只能減少你接受圖像的幀數和顏色信息，並針對性的加快你的大腦運算速度。」

宇航員膽顫心驚的等了一會兒，忽然覺得眼前一下子清晰起來，地球的雲彩和海洋的細節幾乎恢復到了以前的水平，只不過稍微黯淡了一點。

「這下你的視覺解析度提高到1000*1000*1000了。」它滿意的說。

宇航員朝前看了一下，發現自己眼前的地球還是和以往的景象一樣。

「我給你宇航服上加裝了一個四維矢量的動力系統，」它提醒道「你試試朝w軸上方走走。我在上面等你。」

宇航員就像是發現自己長出了一個新的肢體，他可以用意識操縱這套四維動力系統在太空中漂移。於是，他馬上讓自己沿w軸上升起。

宇航員驚訝的發現，眼前的地球輪廓慢慢的變得毛糙起來，就像是一個被橫切了無數刀的橘子，地球的邊界開始顯現出很多道切口，露出切口裡火紅的熔岩。

隨著他朝w軸越走越遠，他開始能從直覺上感受出第四個維度的縱深了。這個維度的透視，把地球拉扯成一個近大遠小的柚子形狀的組合體，而這個組合體，是由上百個熔岩截面排列組成的。

宇航員集中了一下精神，調節了一下自己視覺上的注意力。他感到隨著自己視力解析度的提高，那些地球的截面數量一下子增長了好幾倍。由於截面間距縮小了不少，他可以感到地球幾乎變回了一個連續完整的球體。他又仔細觀察了一下，發現每個地球截面實際上也是由一顆顆粗糙光點組成的二維圖像。和直覺不同，他沒有感到這些地球截面之間的互相遮擋，而是直接完整的看到了每個截面的景象。

「這就說得通了，」他想，「光點組成一維線，一維線組成二維面，二維面組成三維的體。三維世界裡的視覺是二維的，而四維世界的視覺是三維的。我的大腦完全可以接收和處理三維的視覺信息。」

他不由得向自己手上看去，在四維視力里，他的手被透視拉扯成很誇張的形狀，但他還是可以看出手的切片里的血管和骨骼。

由於雙手離眼睛很近，他的左右眼能在巨大的透視畸變里感受到w軸上的縱深。正是由於這個縱深感，讓他明確無誤的認識到自己的身體在w軸上沒有厚度。

沒過多久，他漸漸覺得累的喘不過氣來，而心臟也在狂跳不已，這顯然是超負荷的視力耗費了太多體力。他不得不放鬆了自己的注意力，隨著視覺解析度的下降，地球和身體的切片也變得稀疏起來。

「你朝上看，」四維廚子的聲音忽然響起，「我們星球就在你的上方。」

宇航員利用四維動力系統調整姿態，向w軸上方望去。上方只有一個小小的星星，像一粒灰塵一樣漂浮著，四周是黑暗無際的四維太空。

他小心的靠近這顆銀色的星球，一直把臉湊到了它的面前。這是顆比彈珠還要小的星球，不，就像是一顆稍大一點的珍珠。他看著自己在珍珠星球上的倒影，忍不住向它伸出手去，然而他的手卻穿過珍珠，抓了個空。

」這只是我們星球的等比例虛擬影像，「四維廚子說，」如果你真的來到它附近，會馬上被壓成粉末的。我們四維宇宙，天體之間的距離比你們要大一些，而星球尺度卻遠比三維要小，所以四維的星空看起來是一片黑暗。「

它操作了一下四維星球的虛擬影像，宇航員只看到銀色的珍珠星球以令人目眩的速度變成一片銀色的大地，銀色大地飛快的旋轉著，上面出現的細小經緯線擴大成一張巨網，以誇張的透視畸變向他撲來。

「為了讓你體驗我們四維生物在自己星球上的感受，我把虛擬星球的尺度調到很大。」

當宇航員回過神來的時候，他發現自己已經站在了銀色的大地上。他的腳下，就是一個經緯線的交點——不對，他忽然意識到這個四維星球和三維星球有本質不同，因為腳下是三條垂直線的交點，而在地球表面很顯然只能有兩條垂線。

宇航員操作四維矢量推進器，分別沿著三條垂直線走了一小段，然後又來到直線之間的格子里。

「很奇怪，」他想「我明明可以沿著三條軸移動，然而卻不能進到球體內部。」在這個四維球面上，他感到周圍透視畸變和縱深感的變化效果，要比三維世界大得多。格子的邊長其實沒多長，但他卻感覺到每個格子的面積遠遠的超出直覺的大，怎麼也走不完。

四維廚子從遠處向他走來。在四維視覺里，它是一個朝向四面八方伸出觸角的不規則球體。如果按照地球的尺度來看，它只有一個細菌大小。它像是一個擁有無數條腿的大蜘蛛，停留在垂線編織成的大網裡。

「我有一個問題，」宇航員說，「如果這是你們星球的話，我怎麼看不到你們的城市？」

」都到太空去了，「它說，

「四維星球都相互遠離。由於缺少恆星的光照，星球的表面像太空中一樣寒冷、一樣缺少大氣的保護，但星球上卻比太空中多了不必要的重力。我們很早就學會在無比廣袤的太空中建造城市，在那裡物質的運輸只需要依靠慣性，比在星球上方便多了。」

「你在我們星球表面活動的時候，有什麼感覺？」四維廚子停在網裡問他，似乎很期待他能夠發現什麼。

「由於球體表面太硬，我不能朝球心走，而重力太大，我又飛不起來……」宇航員徒勞的操縱四維矢量推進器，但在w軸方向怎麼也移動不了，「如果我從任意一點出發，沿著一條直線走總會回到原地。看起來，我就像是被困在一個三維空間圍成的四維大泡泡里…………」

宇航員恍然大悟，「這就像是一個微縮的三維宇宙！」

「沒錯，」它說，「我們的文明和你們一樣，都是誕生在一個三維空間包成的四維大泡泡里。只不過我們隨時可以朝w軸抬頭仰望，在黑暗的太空里找到第四個維度。而你們只有一個普朗克厚度，沒法朝w軸方向上抬頭。」

「想知道我是怎麼製造你們宇宙的嗎？」廚子的觸角動了動，似乎下達了什麼指令。「抬頭看吧。」

宇航員調整了一下姿態，他發現黑暗的夜空上等距的出現了無數微小的星星。這些星星排著整齊的矩形陣列，布滿了整個夜空。

隨著四維廚子的下一個指令，星星在夜空中變亮、變密，朝著四維星球的大地墜落下來。

「合適的火候，加上精心搭配的食材，才是一道上等美味。」四維廚子說道。「在我們四維文明離開母星，進化成太空文明的時候，我就把附近的四維星體拉到母星上，讓它在巨大的引力下變成一個黑洞。」

星星在天空越變越大，四維球體的大地隆起一個個巨大的山丘，在引力的拉扯下，這些披著細網的山丘越升越高。

在星星落到地面的瞬間，宇航員感到被一道充斥宇宙的強光淹沒了。

當他睜開眼睛的時候，發現自己懸浮在太空中，眼前是一個嵌套著一層光球的黑洞。那層光球緩緩的向外膨脹著，隨著強光的逐漸熄滅，在變得暗紅色的光球表面，他看到了一個個逐漸形成的漩渦星系。

他已經很熟悉四維的視角了，他感受著這層只有一個普朗克厚度的光球掠過自己的身體，就像是一片泛著無數細小浪花的海面淹沒了自己。

宇航員眼前透視的畸變在迅速的變小，他知道這段難忘的四維空間之旅就要結束了。

「三維蟲子，」廚子說，「等到你們把宇宙改造好了，我再來找你們吧。」

來不及說再見，也來不及朝三維宇宙包裹著的四維黑洞望最後一眼，宇航員感到周邊的星辰快速的擠走了四維黑暗的星空，他也再看不透自己身體的內部。

他望向四周，自己已經站回到月球表面，遠處蔚藍色的地球正掛在一邊天上

耳機里傳來地面控制站的聲音，「剛才你說什麼？為什麼要問我們的宇宙是三維的？」

宇航員笑著說，「沒什麼，不需要問了。」

「我已經知道我們只不過是一個四維廚子攤的烙餅罷了。」他心想。

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文中描述的畫面依次為：

1.從三維空間以三維視角看四維空間中的地球

2.從四維空間以三維視角看宇宙

3.從四維空間以四維視角看三維地球

4.從四維空間以四維視角看四維星球

5.從四維空間看三維宇宙的誕生

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註：

大爆炸理論認為宇宙是由一個點膨脹出來的。

然而也有理論認為，我們宇宙是一個四維恆星坍縮成的四維黑洞外的三維膜。這樣可以解釋我們宇宙中的溫度為什麼這麼平均。

我們三維宇宙中黑洞的事件視界是二維平面。而四維世界中的黑洞表面，就是一個三維結構，可以稱之為超球面。如今我們宇宙的膨脹，正是這個三維膜的膨脹。

為了統一幾種基本力，科學家們創造出弦論，用11維空間里的二維弦來描述基本粒子。

當我們把固有的三維時空觀打破後，我們就可以解釋很多靠直覺難以解釋的自然現象。

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謝謝各位捧場。

（如果喜歡這篇小文，各位可以到我的專欄——雪樹的科幻世界—做客，如果關注我的專欄的朋友夠多，我考慮試試連載一篇中篇小說。）

我想到了以前上電動力學的時候

老師快下課放出一張圖說：「xx大學xx實驗室的科學家們說可以從這個圖形體驗到四維空間」有人立馬反應「真的！我看出來了」不少人跟隨表示也看出來了

正在我踏馬的瞪大眼睛使勁看並且承認自己幾何真是差勁的時候老師緩緩地說「反正我是看不出來」

就是 $K imes K imes K imes K$ 的樣子。

這是我看到最簡單、最好理解的說法。

先理解從一維到二維、二維到三維的過程，就不難想像三維到四維了。

想像紙上有一根線，想像線上的生物只能在X軸上運動。

接著！我們創造一個垂直於直線的Y軸！

讓直線在Y軸上運動，記錄這個過程！

於是，一維空間在增加一個維度後累積成了二維圖形。

這時候，我們再在這張紙建立一個垂直向上的Z軸。想像一張張紙疊上去，慢慢堆成了一個長方體。

於是一個三維的空間形成了。

我們只要想像出第四個軸，讓三維圖形沿軸運動就行了。

這就是四維空間。

這個軸不一定是時間軸，一維、二維也有時間。

但是，回想到那張二維紙上的生物。

他們只能看到自己的前後左右，根本不可能有「上下」這個觀念。

所以當你能想像出那「第四個方向」的時候，你就能理解四維空間了。

可惜我們恐怕都想像不到。

多圖。結論來說：基本想像不出來是什麼樣的，這裡只提供個推理的思路。

先上一張舊聞圖：球形輪胎

前一段日子應該是奧迪和固特異提出的這個概念。在三維空間這個技術是比較難實現的，並且有比較高的技術含量。但是對於更高維度來說這個技術既繞彎路又不高科技（不高科技只是指實現連接並驅動球形輪胎這一目標而言而不是說使用磁力的技術）

想要知道四維空間的部分結構的特徵，則需要從二維和三維的關係來進一步推廣。

二維空間的生物生拉硬拽還是能大概描繪出個類似的生物整體的形象的。

四維空間的話也就能蒙出來大概生物的部分器官結構的樣子以及四維社會的機械的特點。

答過一個相關的問題

我的知乎回答：二維世界真的可能存在嗎？如果存在，如何去理解它？ https://www.zhihu.com/question/46693593/answer/103141061?utm_source=qqutm_medium=social

引用一些用過的圖。

我們可以以二位空間到三維空間的推廣，來猜想下四維空間的特性。

如果二維世界存在生物的話那麼它應該是這樣的

這個生物叫金剛旦。嗯。

生物的具體討論在那個回答里，這裡只針對眼睛這一器官進行分析。

從我們這個維度的生物推測二維生物（如果有類似的高等（有眼睛的）生物的話）

它應該是一個對稱的線段。如下圖。

三維空間的使用眼睛通過光學信號來觀測物體的生物認識世界，是通過一個圓形（近似認為是個平面圓形比較好繼續分析。。）來進行的。如下圖。而接受的系統同樣是一個平面（視網膜也近似下吧。。。。要不不好說）

接下來就是重點了。我們要推測下四維空間中的眼睛長什麼樣。

沒錯。。它應該是一個球。大球套小球。就如同下圖這樣。

那麼外面這個淺色的小球則是負責調解「光」進入量的虹膜一類的結構。

小球就是瞳孔一類的結構，再往裡就是連接到神經中樞的神經系統了。

那麼問題來了，這個球是怎麼樣長在四位生物的身上的？

答案是：我也沒想出來。。

可能是某種方式「懸浮」在這個生物周圍？

還有一個問題是，神經系統是怎樣從這個小球里連接到生物體的？

這裡就需要再次借用二維到三維的變換來類推了。

我之前所寫的答案也是講到過二維世界如果有「車」的話，那麼是很難有發動機來帶動這個車的。

下圖：二維世界的無動力公交車

這個圖需要好好的看一下。這個輪子是鑲嵌在裡面的實心輪子。

二維世界是沒有第三個方向坐標軸的。所以這樣一個封閉的「輪子」是不能通過一個連桿和另一個輪子連在一起的。如下圖

但是三維空間就不是這樣了。我們可以從Z軸出來，把兩個輪子連起來。

如果這樣還不是很明白的話，有這樣的一個類推的說法。

如果我們是二維空間的生物的話，我們對這樣一個事件進行舉例分析。

如果我們是如下圖的二維生物金剛旦，我們對如下圖的情景進行分析

右邊是金剛旦。左邊是方塊裡面有個三角。金剛旦只能在平面里運動，如果方塊不透明的話，它不可能知道裡面是什麼；同時，如果他想要得到裡面的三角的話，它就必須破壞外面的方框。

而三維空間，則是可以做到從一個平面的封閉的框框里，在不破壞外面框框的情況下取出這個三角。

在二維世界中，那個只有邊線構成的框框就是一個封閉的環境。在二維世界中，裡面的東西不會被看到，也不會掉出去。但是在三維空間對它進行觀測，就不是一個封閉的圖形。

進一步對三維空間到四維空間的推廣。

在我們三維空間生物的認識中，這個球就是一個封閉的結構。它不透明的話，我們既不知道它裡面是什麼，也不能在不破壞它的情況下取出裡面的東西。

這樣的一個球，裡面其實藏著一個圓柱體，但是我們是看不到的。（拿建模舉例而已不要說顯示方式。。）

類推下來，如果有四位空間的生物觀測我們的話，這個球對他來說也不是一個封閉的結構。它可以看到不透明球裡面的結構，同時也能在不破壞球外殼的情況下對內部進行干涉。

也就是說，它能夠在不打破雞蛋殼的情況下取出蛋黃。

而機械結構的複雜程度，每個維度也是有它的上限的。二維空間里做不出兩個連在一起的輪子，而我們則可以用機械結構造出一套連桿，把幾個輪子的轉軸連在一起。

畫的簡陋點，就是下圖這樣的。二維空間如果只用機械結構的話，是無法造出類似的輪子的（無法製造固定轉軸）。那麼我們可以斷言，實用的輪子存在的最低維度是三維。

如果是這種把內部的轉軸通過機械結構連接起來的話，三維空間做到這個也就是極限了。

又回到那個關於球形輪胎的舊聞。。

奧迪和固特異真的把球形胎研究出來了！（搜狐）

據說是依靠磁力來驅動。但是這種的控制輪胎的方法也不是通過一個實體的機械結構來連接旋轉軸。雖然在我們的維度中它也是一個相當厲害的科技了，但是四位空間的生物的話相信對這種東西只是嗤之以鼻。

在四位空間中，應該是能夠通過機械結構來連接幾個球的球心的轉軸結構來製造「輪子」的。

或許會再更。

一副撲克牌去掉大小王就可以看成F13上的四維線性空間。有什麼可腦補的

如果你想要缺乏嚴謹但容易理解的文學性描述，參看三體2黑暗森林（根據評論中有人指出錯誤現更改為三體3死神永生。。。太久沒複習，劇情搞混了。。抱歉。。。）

如果你想要嚴謹但抽象的描述，那四維空間就是一組基中有四個幾何向量的空間咯......也就是線代課本上的數組空間或者向量空間咯......至於四維空間中的數學規律基本沒啥變化，三維的推廣一下然後把向量叉乘啥的吃掉就好了；物理規律......嘛，據說四維中電磁力是立方反比？

放棄吧，作為3d生物你永遠也無法腦補出4d。你只能腦補出4d在3d中的投影，比如超立方體。以及藉助理論工具掌握某一部分性質，基本上就和盲人摸象是一樣的。

1、數學四維體的想像

很久以前看過的一個系列視頻可以拿來參照。還有一個剛搜來的課程。

通過三維世界培養起直覺的我們可以通過投影、共形映射和hopf纖維叢來想像四維體。

【紀錄片】維度：數學漫步【高清備用】(8)_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩Dimensions 第七、八章

這種直覺系統只能表示四維體的一個局部特徵，必須要通過抽象化思維加工才能用形式化的一系列描述才能完整表達一個四維體的全部特徵。而我們可以輕鬆想像一個三維體的全部特徵，是因為思維本身無法完全脫離經驗，最先驗的空間表徵也是基於經驗的。

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2、物理世界的四維空間里有個問題。三維世界和理想世界坐標變換是伽利略變換，每個線代課本里都有。

在四維空間里，因為光速不變和光速實際速度，愛因斯坦發現需要做做洛倫茲變換，才能保持空間不坍塌，即時間軸的距離，是空間軸距離的係數為虛數乘以一個常數的通解形式。一個人跑到四維空間里測量一下，就可以得到符合現實的特解。

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那麼有趣的事情來了，為什麼這麼巧合。請去問一下幾百年前歐洲某小國測量局裡一個測量員。

一朝悟透空間法則，當破碎虛空，得道成仙

除了幾個回答之外，其他人簡直一塌糊塗，別說大學階段的物理和數學，恐怕連初中物理知識都欠奉，拜託各位，別尬答了成不。。。

終於碰到這個問題了！其實我一直也在思考這個問題。

首先說一下，樓主所說的4維空間應該是指純粹的思維空間，即通過4個坐標點，由4條互相垂直的直線構成的坐標空間。誠然，這個空間的數學性質很容易類比3維直角坐標系推導出來，很多科幻小說或者科普著作也有很多關於4維空間的形象的描述，比如可以直接看到封閉體的裡面等。但是無論他們描述得如何繪聲繪色、深入淺出，我相信不太會有人能直接在腦海中像構建一個三維虛擬空間一樣構建一個四維的空間。

我曾經對這個問題十分好奇，並且努力想辦法在腦海中構建這樣的一個四維空間。我首先從最簡單的物體開始，比如想像一個四維球，類比於三視圖，那麼這個四維球在三維空間三個方向的投影應該都是一個三維球。就好比工程上從二維的三視圖還原三維物體一樣，我嘗試從三維的三視圖還原這個四維球體，但是很遺憾，我還原不出來。

按照馬克思主義的基本原理，人類的意識來源於實踐，人類因為生活在三維空間，因此我們可以輕易地在腦海里腦補出一個虛擬的三維空間。但是由於沒有人類真正的在四維空間中待過，因此我懷疑沒有人能在腦海中腦補一個四維空間出來，即使愛因斯坦、霍金這種玩轉時間空間宇宙的大物理學家。

不過雖然人類不行，但是我最近有一個想法。就像通過輸入空間參數可以通過計算機虛擬一個三維物體，如果我們把四維空間的參數輸入計算機，不知道會渲染出一個什麼樣子的物體？當然計算機程序是否需要四維渲染技術等我就想不清了。

額……會不會是時間？如果第四維是時間，就容易想像啦～╮(￣▽￣)╭

比如電影《降臨》。

個人覺得人類現在生活的環境就是不止三維的，難道你我沒有時間觀感嗎？

鑒於目前渺小人類的認知水平，往再高維度去想像似乎沒什麼好辦法，慢慢學習吧。

舉例而言，年輕的時候，我以為女人臉漂亮就行，女人只有漂亮/不漂亮兩種，算是二維世界吧，後來我知道有三圍這種東西，再後來，我知道還有內在等等多維價值去衡量女人。

這就是認知的進化

一下回答僅是個人觀點。

樓主這個問題的思維陷入了誤區【用三維空間的思維去想像推論更高維或者更低維空間】就像是貓貓狗狗螞蟻蚊子用它們的思維來想像我們的生活，用它們的理解來解釋我們的行為。

從這方面來說，我們並不比他們聰明與高明多少，犯下了同樣的錯誤。用三維空間的思維理解二維空間，覺得那應該是一個沒有厚度的平面，而四維空間則可以幫助我們繞過牆壁看到牆壁後面的東西。

按照這樣的推論。高維的空間對低維的空間擁有絕對的優勢，我們可以在三維空間中輕鬆地戲弄平面二維空間中的可憐蟲生命，畫個圈就能把它們圈起來，伸手捏起就能將它們從它們無法理解的三維空間經過，落到它無法跳到的圈外，像是神一樣無所不能。

而四維空間中的生物又可以輕易地戲弄我們，將我們從封閉的房間中中，不知不覺地取到房門之外，輕易地在我們面前實現超光速神奇。

這種想法。其實與貓貓狗狗螞蟻蚊子的想法本質並無區別，是一樣的邏輯。想像力的盡頭，僅此而已。

然而事實上，至今為止。我們在宇宙中沒有發現過任何一次真正的物理超光速現象，也沒有發現過一個真正存在的二維空間世界——按照高維對低維的優勢。就是隨便一隻貓貓狗狗螞蟻蚊子也應該很容易入侵到我們認為的二維空間中去才對，但事實上，從未有人發現過什麼二維的空間。

個人認為，宇宙中也許並不存在那樣的低維空間，高維空間，或者存在，飯它們各自內部的物理規則，與我們的三維空間都肯定是完全不同的，根本不可能發生誰比誰優勢的事情，那完全是兩種不同的物理世界。

宇宙的空間維度就是三維的，它是由我們這個宇宙從宏觀到微觀的物理基礎決定的，但它的物理維度卻不止三維，否則就無法解釋以前我們遇到的那些維度，不過在我們的理解中，包括時間，它們不再是組成現實空間的更高維度或者更低維度，它們僅僅是一個維度，組成宇宙的物理維度，可能有一個兩個幾十個，也可能有很多很多個等待一代代生命去發現，發現宇宙的奧秘。

不可能想像出四維，因為我們的基因中根本沒有關於四維的信息，我們也沒有視網球，因此也無法獲得這些信息，自然大腦也不會有這方面的區域。

做一個類比：（不要在意畫風）

這是一個二維生物（紅色），他在看一個平面物體（深藍色代表眼睛）