怎麼求一條參數曲線自交形成的交點？

01-08

怎麼求上面圖中參數曲線自身相交形成的五點坐標？
Matlab code:
t=0:0.1:4*pi;
x=0.24.*cos(t)+0.16.*cos((3/2).*t);

y=0.24.*sin(t)+(-0.16).*sin((3/2).*t);
plot(x,y)
axis equal

精確解的話Mathematica可以直接解出，代碼如下

f[t_] := {6/25 Cos[t] + 4/25 Cos[3/2 t], 6/25 Sin[t] - 4/25 Sin[3/2 t]}; tsol = {ToRules@ Quiet@Reduce[TrigToExp[f[t1] == f[t2]] 0 &< t1 &< t2 &< 4 [Pi]]}; f[t1] /. tsol // FullSimplify // ToRadicals

（感謝@曹洪的指點，使用TrigToExp以後速度提升了超過10倍）

事實上如果用一些耍流氓的方法的話，這道題是可以筆算的

由圖和三角函數的性質可知這個圖像旋轉對稱以及軸對稱的。旋轉 $frac{2pi }{5}$ 後與原圖重合（可以嚴格證明 $f(t)$ 逆時針旋轉 $frac{2pi}{5}$ 後等於 $f(t+frac{12pi }{5} )$ ，如下圖，不過推導起來會很麻煩）

以及從圖中觀察到圖像與y軸負半軸的交點是一個要求的點，所以只要求出這個點的坐標然後旋轉2次得到上半平面的點，再關於x軸對稱下就能得到另外兩個點

圖像與負半軸的交點滿足 $frac{3}{2}sin(t)-sin(frac{3}{2}t)=0$ ，用三倍角公式展開一下，得

$3sin(frac{1}{2}t)cos(frac{1}{2}t)-3cos^{2} (frac{1}{2}t)sin(frac{1}{2}t)+sin^{3}(frac{1}{2}t)=0\ 3cos(frac{1}{2}t)-3cos^{2}(frac{1}{2}t)+1-cos^{2}(frac{1}{2}t)=0$

解得 $cos(frac{1}{2}t)=-frac{1}{4}$ (由負半軸另一個捨去)，代入計算得 $f(t)={-frac{1}{10},0}$

然後再利用旋轉矩陣

$left( egin{array}{ccc} cos(frac{2pi}{5}) -sin(frac{2pi}{5})\ sin(frac{2pi}{5}) cos(frac{2pi}{5}) end{array} ight)$ = $left( egin{array}{cc} frac{1}{4} left(-1+sqrt{5} ight) -frac{1}{2} sqrt{frac{1}{2} left(5+sqrt{5} ight)} \ frac{1}{2} sqrt{frac{1}{2} left(5+sqrt{5} ight)} frac{1}{4} left(-1+sqrt{5} ight) \ end{array} ight)$ ,

代入計算即可得到5個點

謝邀，這個不是作業吧。

這個問題可以轉化為

$f(t)=f(t+Delta)$

$g(t)=g(t+Delta)$

$t=(0,4pi)$

如果只要數值解，粗暴一點，就是兩重循環，枚舉，就可以找出這5個點了。

謝邀，這個問題的領域不是很熟悉，不過想了想有一個方法說不定可以幫到你：

首先這個問題看成

$x(t_1) = x(t_2) \ y(t_1) = y(t_2)$

構造一個函數

$f(t_1, t_2) = (x(t_1)-x(t_2))^2 + (y(t_1)-y(t_2))^2$

然後對這個函數求最小值點應該就可以了，理論上也許能求出精確解，但是微積分什麼的被我忘的差不多了，用一些數值方法求好了。

謝邀。

不知你要數值解還是解析解，總之數值解可以這樣搞，

MATLAB：

clc;clear;

close all

t0 = linspace(0,4*pi,10);

xx = @(tt)(0.24*cos(tt)+0.16*cos((3/2)*tt));

yy = @(tt)(0.24*sin(tt)+(-0.16)*sin((3/2)*tt));

F = @(t)([xx(t(1))-xx(t(1)+t(2)); yy(t(1))-yy(t(1)+t(2))]);

tx = zeros(5,2);

idx = [1 2 3 4 5];

for i = 1:5

t = fsolve(F,[t0(idx(i)) 2.2*pi]);

tx(i,:) = t;

end

tt = 0:0.1:4*pi;

figure;

hold on

plot(xx(tt), yy(tt), "-b");

plot(xx(tx(:,1)), yy(tx(:,1)), "ro");

grid on;

axis equal;

原理上，就是要解 $g(t,s)=f(t)-f(s)=0$ 這樣的方程。其中， $t e s$ 。在MATLAB中，有自帶的非線性方程求解函數fsolve，可以求出給定初始值附近的解。實際計算時，類似徐騰飛老師的方法，把方程修改為 $g(t,Delta t)=f(t)-f(t+Delta t)=0$ 的形式，以保證兩個 $f(x)$ 內的自變數值不同。否則實際程序很可能解出相同的參數值。

目前這個方法的問題是初始值需要手動調整，並且存在一定的敏感度。但是求解速度應該是比較快的，適合已知解的大致位置的情況。

http://mathematica.stackexchange.com/questions/33947/how-to-get-intersection-values-from-a-parametric-graph

可以用lisp在CAD裡面畫出圖形，然後得到交點的坐標，當然是近似的。

如果只針對這個函數求交叉點，而不是用於某個複雜程序中，最簡單的辦法就是：畫出圖形後，把交點附近的區域不斷放大，直接讀數

怎麼求一條參數曲線自交形成的交點 ？

怎麼求一條參數曲線自交形成的交點？