拉普拉斯變換初值定理，為何題中是對F1（S）求極限，而不是對F（S）求極限？

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為何題中是對F1（S）求極限，而不是對F（S）求極限

感謝邀請 ~

大多數教材中關於Laplace變換的初值定理的描述似乎是不適用於該例題的。然而，初值定理實際上有更為一般的版本(參考：Eric W. Hansen, Fourier Transforms - Principles and Applications, Wiley. 這本書在：拼了老命用一天看完了傅立葉拉普拉斯 Z變換。感覺萌萌噠～有沒有更詳細更高深的書可以看看？ - 羅旻傑的回答中推薦過)：

回到你的問題，我們有：

$F_L(s)=frac{s^2}{s^2+2s+2}=1-frac{2s+2}{s^2+2s+2}= 1+F_{0}left(s ight)$

剩下的就和你題目中給出的步驟一樣了。

謝邀。

單邊信號拉普拉斯變換的初值定理成立的前提是： $f(t)$ 在 $t=0$ 時不包含衝激或高階的奇異導數，為了看清楚這一事實，回顧下初值定理的證明過程：

$f(t)=f(t)u(t)=sum_{n=0}^{infty}frac{t^n}{n!}f^{(n)}(0^{+})u(t)$

逐項求拉普拉斯變換

$F(s)=mathcal{L}(f(t))=sum_{n=0}^{infty}mathcal{L}(frac{t^n}{n!}f^{(n)}(0^{+})u(t))=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(0^{+})}{s^{n+1}}=frac{f(0^{+})}{s}+sum_{n=1}^{infty}frac{f^{(n)}(0^{+})}{s^{n+1}}$

兩邊同時乘以 $s$ 得到

$sF(s)=f(0^+)+sum_{n=1}^{infty}frac{f^{(n)}(0^{+})}{s^n}$

可以看出，如果 $t=0$ 時不包含衝激或高階的奇異導數的話， $s ightarrow infty$ 的情況下， $sF(s)=f(0^+)$ 。但是你這個題目中， $s ightarrowinfty$ 時 $sF(s) ightarrowinfty$ 表明 $t=0$ 時是可能包含衝激或高階的奇異導數的，換言之上面證明過程中的泰勒展開是不收斂的，初值定理是不可以直接使用的。而 $F(s)=1+F_1(s)$ ， $1$ 是 $delta(t)$ 的拉普拉斯變換，也就是上面說的 $t=0$ 時的衝激，去掉衝激項剩下的部分就可以用初值定理啦。