Mathematica中如何進行微分變換？

01-08

我有一個微分方程，比如
$frac{partial U^2(x,y)}{partial x^2}+frac{partial U^2(x,y)}{partial y^2}=0$ ,
如果我還一組變數，比如

$heta=arctan{frac{y}{x}}, r=sqrt{x^2+y^2}$
怎麼使用規則變換求得U在新變數下的微分方程呢？

先說內置做法。

Mathematica內置了不同坐標系下的拉普拉斯算符，查下幫助直接用就行

Laplacian[U[r, [Theta]], {r, [Theta]}, "Polar"] // FullSimplify

然後說下普適性比較強的推導方法

$left{ egin{aligned} frac{partial}{partial x}=frac{partial r}{partial x}frac{partial}{partial r}+frac{partial heta }{partial x}frac{partial}{partial heta}\ frac{partial}{partial y}=frac{partial r}{partial y}frac{partial}{partial r}+frac{partial heta }{partial y}frac{partial}{partial heta} end{aligned} ight.Rightarrow left( egin{aligned} frac{partial}{partial x} \ frac{partial}{partial y} \ end{aligned} ight)=J^{T}cdotleft( egin{aligned} frac{partial}{partial r} \ frac{partial}{partial heta} \ end{aligned} ight)$

其中 $J=frac{partial(r, heta)}{partial(x,y)}$ 為雅可比矩陣

所以就可以在Mathematica中直接定義 $frac{partial}{partial x},frac{partial}{partial y}$ 兩個算符，代碼如下

(*因為需要用{r,[Theta]}表示所以先求{r,[Theta]}對{x,y}的雅可比矩陣然後再求逆*) J = Inverse[D[r {Cos[[Theta]], Sin[[Theta]]}, {{r, [Theta]}}]] // FullSimplify; {px, py} = Function /@ (J[Transpose].{Hold[D[#, r]], Hold[D[#, [Theta]]]}) // ReleaseHold

之後將原微分方程用px,py兩個算符表示，化簡即得

px[px[U[r, [Theta]]]] + py[py[U[r, [Theta]]]] // FullSimplify

這種做法對於任意坐標變換都是適用的，而且不局限於拉普拉斯算符

symbolic - Analogue for Maple"s dchange