求問數學大神這種公式結果是怎麼推導出來的？

01-08

如圖，想問問畫橫線部分是怎麼推出得到結果最後一行的？

$sum_{j=1}^{n}inom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}j(1-frac{1}{M})^{j-1}$

$= sum_{j=1}^{n}frac{n!}{j!(n-j)!}p^j(1-p)^{n-j}j(1-frac{1}{M})^{j-1}$

$=npsum_{j=1}^{n}frac{(n-1)!}{(j-1)!(n-j)!}p^{j-1}(1-p)^{n-j}(1-frac{1}{M})^{j-1}$

$=npsum_{j=0}^{n-1}inom{n-1}{j}(1-p)^{n-1-j}(p-frac{p}{M})^j$

（注意這一步把j-1都換成了j，前面j=1~n相應地變成j=0~n-1）

$=np(1-p+p-frac{p}{M})^{n-1}$

$=np(1-frac{p}{M})^{n-1}$

說下我的思路。首先，看到 ${n choose j}p^j(1-p)^{n-j}$ 想到二項式展開，這個應該很自然。

再看剩下的 $j(1-frac1M)^j$ ，如果令 $1-frac1M$ 為 $x$ ，這顯然是一個求導之後的結果，所以有

$egin{align*} sum p^j(1-p)^{n-j}j(1-frac1M)^{j-1}\ =sum p^j(1-p)^{n-j}frac{d}{dx}x^j\ =frac{d}{dx}sum p^j(1-p)^{n-j}x^j\ =frac{d}{dx}sum (xp)^j(1-p)^{n-j}\ =frac{d}{dx}(xp+1-p)^n\ =np(xp+1-p)^{n-1}\ =np(1-frac pM)^{n-1}\ end{align*}$

考慮其實際意義，參考算兩次思想先猜出來。

然後對比一下。

當時老師講這個式子其實是xxxxx的時候我簡直想砸桌子。

把 $M$ 看成自變數求導，然後用一些求導的技巧就行了。

$sum_{j=1}^{n}inom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}j(1-frac{1}{M})^{j-1}$

$= sum_{j=1}^{n}inom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}M^2frac{d(1-frac{1}{M})^{j}}{dM}$

$= M^2frac{dsum_{j=1}^{n}inom{n}{j}(p-frac{p}{M})^j(1-p)^{n-j}}{dM}$

$= M^2frac{d(1-frac{p}{M})^n}{dM}$

$=np(1-frac{p}{M})^{n-1}$