拓撲絕緣體的 Z_2 拓撲不變數有什麼意義？

01-08

$mathbb{Z}_2$ 的物理理解上一個回答說得很清楚了. 我這裡提供一個更簡單的...

$mathbb{Z}_2$ 就是奇偶的區別: 如果表面上有偶數個邊界態, 則它們兩兩融合可以被 gap, 因此拓撲平凡; 如果有奇數個邊界態, 則總剩下一個無法被 gap, 因此拓撲非平凡.

所謂"融合", 是說 vorticity 相反的兩個 Dirac point 如果碰到一起就沒了... vorticity 是繞 Dirac point 一圈的 Berry connection 的線積分(winding number).

下面簡單說一下 $mathbb{Z}_2$ 在數學上的起源, 因為最近正好系統學習了一下 TI 和 TSC 的周期表的推導.

$mathbb{Z}_2$ 在數學上是來源於 Clifford 代數的不可約表示. 任何一個系統在 gapless point 附近總是可以展開成 Dirac 型哈密頓量, 而 Dirac 型哈密頓量總可以看作 Clifford 代數的表示. 一般說來, 這個表示總是可約的, 可以分解成若干不可約表示的直和. 由於我們考慮的是穩定的拓撲分類, 即零能邊界態不能通過加額外的微擾被 gap 掉, 因此在數學上我們考察的是: 給定一個 Clifford 代數的不可約表示, 能不能在不增加其維數的基礎上, 增加一個生成元將其擴充成一個更大的 Clifford 代數的不可約表示? 如果可以, 那麼就說明可以 gap 掉這個邊界態; 如果不可以, 則這個邊界態是穩定的.

現在從一個給定的 Clifford 代數的不可約表示出發, 再增加一個生成元, 有三種情況:

$n o n, n o n_2$ : 表示維數沒有增加, 因此邊界態可以被 gap, 拓撲平凡.
$n_2 o 2n$ : 雖然表示維數翻倍, 不能直接擴充. 但兩個不等價的不可約表示直和之後可以擴充. 兩個等價的不可約表示直和不能擴充, 這些等價的不可約表示給出 $mathbb{Z}$ 的拓撲不變數, 即 Chern number.
$n o 2n$ : 和上面類似, 但這裡沒有不等價的不可約表示, 總是可以直和兩個不可約表示直接擴充. 如果有奇數個不可約表示直和, 那麼就不能被 gap; 偶數個不可約表示直和, 就可以被 gap. 給出 $mathbb{Z}_2$ 不變數.

用更數學的話說, $mathbb{Z}_2$ 不變數來源於商群 $N(mathrm{Cl}_{k})/i^*N(mathrm{Cl}_{k+1})$ , $N$ 代表 Clifford 代數的 $mathrm{Cl}_k$ 不可約表示生成的加法自由群, $i^*$ 是自然的包含映射 $i: mathrm{Cl}_k o mathrm{Cl}_{k+1}$ 所誘導的不可約表示的約化 $i^*: N(mathrm{Cl}_{k+1}) o N({mathrm{Cl}_{k}})$ .

另一個回答說, $mathbb{Z}_2$ 不變數來源於(topological) K theory, 這似乎和我上面說的不一樣. 其實不然. 這背後有一個更加深刻的數學原理: Atiyah-Bott-Shapiro isomorphism, 它連接起群表示論和同倫論. Clifford 代數(的 extension generator 所生活的拓撲群)的classifying space 的第零同倫群, 即連通分支的數目, 正好就是不可約表示擴充的商群:

更多細節可以參考我寫的一個 Note: https://www.dropbox.com/s/g3fiaxp0g3wwjbj/Topological%20Classification.pdf?dl=0

以及這篇 paper: http://arxiv.org/abs/1005.3213

Atiyah-Bott-Shapiro isomorphism 作為背後的數學, 來源於這篇文章: http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/abs.pdf

2015/12/07，稍微補充+修改了一些，看起來更自洽一點吧。。。

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第一次在知乎回答，壓力有點大。。。求各位大大輕拍。。。

Z2拓撲不變數是用來定義具有時間反演不變（沒有磁性雜質）的二維以及三維的絕緣體中能帶的拓撲性質。Z2的名字取自Z2群，該群只有兩個元素：0（拓撲平庸）和1（拓撲不平庸）。這裡我們認為真空是拓撲平庸的，而原子絕緣體（比如氫原子的能帶結構）與真空拓撲等價，也是平庸的。一般的絕緣體大部分都和原子的能帶結構等價，於是我們稱之為拓撲平庸。比如我們把一個固體的晶格常數慢慢加大，直至無窮大，則期間不發生拓撲相變（能隙閉合）。但也有少數的絕緣體不能滿足上述的性質，我們就稱之為拓撲不平庸，也就是拓撲絕緣體了。

從數學上看，Z2是源自於傳說中的K
theory，詳情請見大神Kitaev的http://arxiv.org/abs/0901.2686等等這些我看不懂的文獻，坐等高手前來指教。個人比較喜歡的是對於Z2偏物理的解釋，也就是下面這些物理意義了：

第一個：Bulk-edge correspondence。這個名字不知道怎麼翻譯比較好，內部-邊界對應？這就是之前樓上講的拓撲絕緣體的體態的拓撲性質在邊界上的效應。首先，我們把能隙閉合作為拓撲相變的一個定義。當然其實這樣定義並不嚴格，因為能隙閉合一般會導致拓撲相變，但不能確保一定出現拓撲相變。之前說過真空是拓撲平庸的，但體態是拓撲不平庸的。所以從拓撲絕緣體內部出發到外部真空的過程就一定要發生拓撲相變。相變發生的位置就在拓撲絕緣體的表面。所以拓撲絕緣體會有無能隙的表面態。

穩定（stable）的表面態的數目則是由Z2不變數決定的。注意這裡說的是穩定的表面態，我們還需要定義一下穩定的表面態和不穩定的表面態。我們來看一下下面這張圖（Kane Hasan的那篇非常經典的Rev Mod Phys中的Fig 3），

首先注意在時間反演不變動量點 $Gamma_a$ 和 $Gamma_b$ ，表面態都是二重簡併的，這是Kramers簡併要求的。這意味著，第一種情況（左圖）對應著不穩定（平庸）的表面態，對於Z2拓撲絕緣體來說，這意味著費米面與表面態有偶數次交叉。我們可以很容易的將不穩定的表面態從體能隙中移除，比如在加一個表面勢來調高或者調低表面態的能量。但對於第二種情況（右圖），費米面與表面態有奇數次交叉，如果我們外加表面勢來調高表面態的能量，那麼將會從Valence band中拉出更多的表面態來，這樣表面態在不破壞對稱性以及不改變體態拓撲的前提下是去不掉的（當然不能引入topological
order什麼的奇怪東東）。

在保證在時間反演不變點的能態簡併的前提下（不考慮額外的對稱性保護機制），以上兩張圖的兩種情況窮盡了所有可能的從 $Gamma_a$ 到 $Gamma_b$ 的連接方式。於是從僅僅表面態出發，我們也可以得到有兩種不等價的情形，這也就是所謂的Z2分類。

對於平庸的絕緣體，其穩定的表面態的數目是零，我們稱之為Z2=0。而對於非平庸的絕緣體，其穩定表面態的數目只能是1，我們稱之為Z2=1。如果有奇數個表面態，那麼則完全等價於一個表面態的情況（只有一個表面態穩定），而偶數個表面態則是完全平庸的。

於是這個結論給我們的啟發是：根據Bulk-edge correspondence的性質，我們完全可以從表面態的數目出發來對拓撲絕緣體進行分類。在很多時候，如何定義拓撲不變數並不是那麼的顯然，那麼從表面態的（偶然或者必然的）簡併性出發來進行拓撲分類往往是一個更加簡單直接的選擇。

第二個：時間反演極化（Time reversal polarization，TRP）。參考文獻是Liang Fu大師的成名作PhysRevB.74.195312和PhysRevLett.98.106803，當然也可以看Bernevig的書。TRP是我個人最喜歡的物理圖像，因為它把一個抽象的數學概念物理化了，而且最重要的是TRP告訴我們怎麼樣在實際體系中計算Z2不變數，讓一個看不見摸不著的東西變成了幾步矩陣運算和積分。。。在體系具有空間反射對稱性的時候，Z2不變數的計算變得難以想像的簡單（這就是大名鼎鼎的Fu-Kane formula）。

要介紹TRP，首先要引入固體中電極化（polarization）的概念以及Kramers簡併。沒錯，這個電極化就是在電動力學中學的電極化，但有意思的是，在固體中用量子力學描述的現代電極化理論直到上個世紀90年代初才完全建立起來，這可能和Berry phase在八十年代才出現有很大的關係。。。在經典意義下，電極化告訴我們的就是電子相對於束縛它的離子的位置。在瓦尼爾（Wannier）表象下，電極化就是位置算符的期望值，有一個詩一樣的名字來稱呼它——瓦尼爾之心（Wannier center），簡稱WC（囧）。。。這裡給個參考文獻，R.Resta的RevModPhys.66.899。

Kramers簡併比較好理解，在有自旋的單電子（奇數個電子）體系中，時間反演不變會要求能帶在時間反演不變的動量點上出現二重簡併，而且二重簡併的態自旋相反。

當這二者結合之後，很容易證明WC在高對稱點也要二重簡併。那麼問題來了，假設我們有個隨時間演化的參數空間a(t)，我們讓一個含有參數a(t)的體系隨著時間演化，那麼WC會怎麼演化？假設這個參數空間是周期性的，a(t)=a(t+T)，那麼在t=0，t=T/2和t=T的時刻，我們認為系統的哈密頓量是具有時間反演不變性的，那麼在這三個時刻，WC必須是二重簡併的。這導致了WC的演化只能有以下兩種可能，如圖所示。

圖中，橫坐標是參數a(t)（可以取成時間或者動量，這裡先取成時間），縱坐標是一根一維原子鏈，原子由小藍點表示。為了方便起見，我們假設WC（電子位置）和原子位置重合（緊束縛極限吧。。。）。這裡，紅線代表了WC隨時間的演化軌跡。左邊圖中，簡併的WC對在經歷了演化之後又回到了原來的位置，所以演化沒有造成任何的影響，這對應著拓撲平庸的情況。

右邊圖中，帶有相反自旋的WC對，演化到了相反的相鄰原子處，這樣仍能保證演化之後的二重簡併，但最後的WC對已經不是之間的WC對了（物是人非的感覺。。。）。這樣導致的結果就是，儘管體系本身是絕緣體，但是在絕熱演化下卻會產生和自旋相關的自旋絕熱流（總的絕熱流還是零）：就像右圖中所示的一個電子往上跑，但另一個自旋相反的電子往下跑，這就相當於一個自旋泵（spin pump）。如果我們把參數a(t)取成另一個方向的動量ky，那麼這個二維體系就是二維時間反演不變的拓撲絕緣體。

而讓這兩個簡併的WC隨動量ky演化，其末態WC的差別減去初態WC的差別得到的物理量，就是所謂的時間反演極化（TRP）。當然以上只是一個簡單的物理圖像，想要真正理解，還是要真的重複一下Liang Fu原文章中的計算，你會清楚的看到所謂的Pfaffian
Z2拓撲不變數如何在數學上從TRP的定義導出。

第三個：theta項。還有一種非常簡單直接的理解Z2的辦法是從拓撲絕緣體的電磁響應出發。參考文獻是另一個大師Xiao-Liang Qi的成名作PhysRevB.78.195424。簡單來講就是除了麥克斯韋項之外，還有另外一種電磁學的項可以存在，這就是傳說中的theta項。麥克斯韋項的拉氏量形式是一個標量（E^2-B^2），但theta項則是一個贗標量（E點乘B，磁場B是贗矢量）。所以theta項在時間反演下要變號。對於時間反演不變的體系，我們可以要求這一項前面的角度係數theta只能等於0或者pi。Theta等於0的時候，這一項完全沒有貢獻，也就對應著拓撲平庸的情況。Theta等於pi的時候，體系有著超越麥克斯韋方程組的新的電動力學性質，也就是傳說中的topological
magnetoelectric effect(TME)，這種情況對應著拓撲絕緣體的情況。這也可以理解為什麼會出現Z2。

許多答案提到了拓撲絕緣體的所謂十重分類(ten-fold way)，其中的拓撲不變數，實際上描述了各種對稱性下系統中可能存在的「物相」。比如量子霍爾系統中，取整數值的拓撲不變數代表了橫向電阻所處的霍爾平台；而在時間反演不變的拓撲絕緣體中， $mathbb{Z}_2$ 拓撲不變數則對應了系統是否存在受保護的邊界態。這些受保護的邊界態，如同量子霍爾邊界態一樣，在不閉合能隙的微擾作用下十分穩定。

拓撲分類的基本思路，是對第一布里淵區到哈密頓量矩陣的映射分類。要完成這一步，就需要構造出不同對稱性條件下哈密頓量矩陣的值域（取值範圍）。這裡的基本思想在於，從最一般的對稱性 $mathfrak{o}(n)$ （或 $mathfrak{u}(n)$ ）出發，通過不斷將新的Clifford代數生成元納入哈密頓矩陣值域，來破缺掉原有對稱性。這就能將不同對稱性的物理系統排列進一個對稱破缺的序列，即所謂「周期表」。在這個序列中，隨著李代數越來越「小」，原李代數可以分解為新李代數 $mathfrak{g}$ 和哈密頓矩陣值域 $mathfrak{m}$ 的直和： $mathfrak{g}=mathfrak{g}$ 。通過一些簡單的構造即可得到 $mathfrak{m}$ 的結構。具體的細節有很多文章討論，這裡就不贅述了。

但題主專門問了 $mathbb{Z}_2$ 拓撲絕緣體，個中物理倒有不少故事可講。我們先來看一個簡單的例子，石墨烯有兩個不等價的Dirac錐，各處在第一布里淵區邊界 $pm K$ 處，對應Berry phase（即Berry curvature通量）量值為 $pmpi$ 。由於兩錐Berry curvature通量大小相等，符號相反，整個第一布里淵區的通量為0。那麼能不能只有一個Dirac錐呢？由於時間反演變換將 $K$ 變為 $-K$ ，因此只要系統服從時間反演對稱，就必定存在兩個Dirac錐。這一結論被稱為fermion doubling theorem，也適用於一維情況：這時費米面上有左行、右行態(對應 $pm k_F$ )，與上下自旋組合後共有4個態。

然而對 $mathbb{Z}_2$ 拓撲絕緣體的邊界態來說，fermion doubling theorem可能成立，這是 $mathbb{Z}_2$ 不變數為0的拓撲平凡態；也可能不成立，這是 $mathbb{Z}_2$ 不變數非0的拓撲非平凡態。為了簡單起見，我們考慮2維情形，此時邊界是一維繫統。前面提到的4個態，可以分列於系統的不同邊界上。見下圖：

圖中的拓撲絕緣體有兩個邊界，左右邊界各包含兩個態。不同邊界上的態具有相反的自旋流。這就是所謂helical edge states。

這兩種物相受到系統拓撲性質的保護，可以由下圖直觀看出：

左側的表面態（surface state）色散曲線可以通過連續變化「沒入」體能帶，而它一旦和費米能級相交，一定有 $4n$ 個交點；相反，右側色散曲線無法通過連續變化「沒入」體能帶，而當它和費米能級相交時，可以有 $2n$ 個交點。注意 $k=0$ 時存在Kramers簡併。在這幅圖中，左側的情形 $mathbb{Z}_2$ 不變數為0，右側為1。這就是拓撲不變數的意義。

根據上面的分析，只有一個Dirac錐的系統不能獨立存在，卻可以作為拓撲絕緣體的邊界存在。當系統處於拓撲平凡態（ $mathbb{Z}_2$ 不變數為0）時，系統兩個邊界上各有偶數個Dirac錐；而一旦能隙閉合，能帶交錯，一側的Dirac錐就可能被「轉移」到另一側去，形成兩個邊界上各存在奇數Dirac錐的拓撲非平凡態。熟悉量子霍爾效應的讀者，應該能立即聯想到Laughlin argument——隨著垂直磁場連續變化，二維繫統的邊界電子態在系統絕緣時保持不變，對應量子化的霍爾平台；直到某一朗道能帶與化學勢交錯（帶隙閉合），電子態從一個邊界轉移到另一個邊界，橫向電阻的霍爾平台隨之改變。區別僅僅是量子霍爾效應的能隙閉合由磁場控制，而拓撲絕緣體中的能隙閉合由哈密頓量中的其它參數控制。

然而時間反演不變的系統中沒有電流流動，Laughlin的論證方法並不直接適用。但如果我們引入一個額外維度，並假設在額外維度上有電流流過，便可以再次使用Laughlin的論證方法。於是在拓撲絕緣體中，我們同樣可以建立磁通量變化導致能譜周期性變化的物理圖像，並在數學上考察相應的譜流和指標定理。同時，這也構成了維度約化（dimensional reduction）的思路。具體來說，我們可以從高維的Chern-Simons場論（描述 $d=2n$ 維繫統的量子霍爾效應）開始，每次緊化一個維度（蜷縮成小圓環），積掉「額外維」得到其餘維度上的（時間反演不變）有效場論，也就是描述此類拓撲絕緣體的拓撲場論。

無意中看到這個題目，正好在做相關的一些東西，於是想來說一下。限於水平，無法像其他回答中那樣系統的介紹，只能大致說說一個簡單例子中的直觀現象。個人覺得這個現象看上去比較有趣，也很直接，可能能幫助理解吧……

我說看上去有趣且直接時是針對一個示意圖說的，不過那個圖用在了一篇正在寫的文章中……所以投了以後再說吧……

另外好像有點跑題=.=

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雖然對拓撲絕緣體、拓撲超導體等的研究主要是從二維、三維開始的，但根據對稱性分類表的周期性（就是 @andrew shen 回答中說的那些東西），任何一個維度內都有屬於Z類、Z2類以及無拓撲的系統存在，這些系統滿足不同的對稱性。為了提供一個便於理解的圖像，我這裡僅介紹一下一維繫統中的情況。

首先，物理上的拓撲，是指一個系統在動量空間具有的拓撲性質，因此描述這些性質的拓撲不變數需要定義在整個動量空間內。

最簡單的一維情況，動量空間是一個一維環（動量k具有周期性，取0到2 pi），相應的拓撲不變數Berry phase就是對某個物理量（Berry connection）在這個一維環上的線積分。這個積分的結果等價於積分路徑在某個球面（Bloch球）上所圍繞面積的立體角除以2。

屬於Z類的一維拓撲系統都具有Chiral對稱性，這一對稱性保證了哈密頓量具有某種形式，使得上述積分路徑必然在Bloch球的一個大圓上，即積分路徑和原點在一個平面內。此時可推導出Berry phase等價於積分路徑在此平面內的卷繞數（winding number），即路徑逆時針繞了原點多少圈。雖然Berry phase作為一個相位是以2 pi為周期的（即在大圓上的取值只能是0或pi），但這個winding number可以取任意整數，也就是通常說的Z類拓撲不變數。

當系統不具有Chiral對稱性時，這個積分路徑可以在整個球面上的任何位置，對應的立體角有可能是任意數值。由於積分路徑和原點不在一個平面內，因此之前的winding number在這沒有意義。但屬於Z2類的兩個一維繫統具有particle-hole對稱性，這個對稱性保證了其他一些特殊性質，使得Berry phase只能取pi和0。

具體而言，具有particle-hole對稱性的一維哈密頓量，當動量k取0或pi時，積分路徑對應的點必然在布洛赫球的南極或北極；取其他值時，k和-k對應的點剛好是在x-y平面上反演對稱的。

因此，如果0和pi的點在同一級，積分路徑圍繞成了兩個相同的閉環，但方向相反。因此對應的立體角便是兩者之差，為0。

如果0和pi分別在南北極，則積分路徑圍繞成了一個大的閉環，剛好把整個球面分成相等的兩半。因此對應立體角為2 pi，Berry phase便是pi。

最後，對應到邊界態的物理圖像。一維Z類的情況，邊界態始終位於能隙中間，且偶數重簡併，簡併重數等於winding number*2。這些簡併邊界態只有在能隙關閉並發生拓撲相變後才會消失。

而對於一維Z2類，Berry phase為pi時也會有類似的能隙保護簡併邊界態。Berry phase為0時，系統有可能不存在邊界態，也有可能存在偶數對邊界態。這些邊界態在能隙中的位置並不固定。比如說我最近算的模型里有兩對這樣的簡併邊界態，分別在能隙中不同的位置，且改變系統參數會讓這兩對邊界態的位置連續變化並融入體態中。因此這樣的邊界態是拓撲平庸的。

嗯……大致就這樣……

就一個詞，robust