倒格子空間的Berry phase有什麼意義？

01-08

手機碼字，先佔坑再補。

1. 如@樹袋熊說的，Berry phase可以用來沒有ambiguity地計算材料的電極化，因為按傳統方法把材料內部的晶格分成首尾相連的小dipole的話會分不清正負方向，需要知道材料邊界上電荷積累狀況才能確定方向；

2. 和能帶理論中電子的Luttinger"s anomalous velocity直接相關：

3. 在二維材料（比如強磁場中的二維電子氣）的二維布里淵區上fiber一個包含slater波函數的希爾波特空間，可以用纖維叢理論通過Berry connection計算拓撲不變數Chern number（也可以用類似Wilson loop的方法從波函數U(1)相位中得出）。這個TKNN不變數就代表著整數霍爾效應電導的量子化；

4. 1988年諾獎得主Haldane提出有的材料通過其特殊的能帶結構，在無外界磁場時也給出非零的陳數，後來2013年薛其坤團隊在磁性摻雜的(Bi, Sb)2Te3拓撲絕緣體薄膜中觀測到了這種反常霍爾效應；

5. 在3的推導中，因為要求陳數非零，時間反演對稱性要被破壞，即需要磁場（電場相反，不破壞時間反演對稱性）。但大多數天然晶體無磁性，那麼它們能不能有非平凡電子結構呢？答案是能。如果一個絕緣體的電子態由兩個互為時間反演態且互無耦合的子系統組成，那麼兩個子系統各自的陳數等大反號，總和為零。我們把這兩個陳數叫做spin Chern number ，是3中陳數的推廣；如果spin Chern number非零，那麼就存在自旋霍爾效應。

考慮實際中廣泛存在的spin-orbit coupling後，如果coupling不關閉絕緣體的能隙，那麼spin Chern number為奇數的絕緣體在拓撲上等價，它們的狄拉克邊緣態被時間反演對稱性保護；為偶數的絕緣體也拓撲等價，但沒有上述邊緣態；這個就是拓撲絕緣體的Z2分類。2006年Bernevig, Hughes, Zhang提出了HgTe/CdTe量子阱系統，次年自旋量子霍爾效應得到實驗證實。

有奇數spin Chern number的拓撲絕緣體是symmetry-protected topological phase (SPT)的早期例子之一，後來這個領域在理論上得到了極大的發展。

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再帶點私貨：在超對稱規範場論中，耦合「常數」在其參數空間中的Berry phase對於配分函數的計算非常重要，尤其是當T對偶（比如Wilson loop operator變成translation），S對偶（比如四維N=4 super-Yang-Mills中在boundary上的對偶）或者modular transformation作用在wave functional上時。

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之後再補充

這個問題好大，實際上有專門一篇review of modern physics 【1】來講這個事情。我就從我自己的了解說說吧。我從兩個角度說，一個角度是電荷中心與Berry Phase，另一個角度是准粒子與Berry曲率。

一、電荷中心的角度。

1，晶體的電極化。長期以來，在微觀角度上定義晶體的電極化就令人困惑。假設電荷正負交替排列，那麼有兩種取原包的方式，第一種為：

... | + - | + - | + - | ...

第二種為：

... | - + | - + | - + | ...

這兩種取法給出的電極化方向是不同的。當然你可以說有邊界，按邊界選取晶胞。但若像固體物理中那樣取周期邊界條件，就沒法定義了。其實電極化的微觀理論，正是通過引入Berry Phase解決的【2】。仔細想一下這個問題，會發現兩個關鍵點：1）在實驗測量中，我們能測到的是電極化的改變數，而非絕對值。2）由於晶格的平移對稱性，每個原包里的電子云都完全一樣，我們只需要在一個晶格內部定義電荷中心就可以了。

2，Berry聯絡。晶體中電子的波函數滿足布洛赫定理，其形式為 $psi_k(x) = e^{ikx}u_k(x)$ 。那麼這個波函數的電荷中心為 $X_k = int dx u^*_k(x)xu_k(x)$ ，其中的積分限定在一個原包里。如果我們要對整條能帶求和，經過幾步推導就會發現： $P=int dk X_k = int dk a(k)$ ，而其中的a(k)就是Berry聯絡，它的定義是：

$a(k) = i int dx u^*_k(x) partial_k u_k(x)$

也就是說，實空間電荷中心的信息，其實隱藏在倒空間的相位信息中。學過量子力學的人馬上意識到，波函數有規範自由度，也即我可以把上面的 $u_k(x)$ 替換成 $e^{ialpha(k)}u_k(x)$ 。那會怎麼樣呢？電荷中心會平移整數個晶格，這對應前面說得，電荷中心只應定義在一個原包內。

3，Berry相位。前面講了，真正有意義的物理量是極化的改變數。假設我們測量電極化隨應力的變化，我們用一個參數t來刻畫這個過程，t=0代表沒加應力的初始狀態，t=1代表最終狀態。那麼在每一個t上，原則上都有一個不同的能帶波函數（應力會改變哈密頓量）。所以P,u,a應該寫成 $P_t$ , $u_{k,t}(x)$ , $a_t(k)$ ，也都是t的函數。那麼極化量的改變數就可以計算了：

$P_1 - P_0 = int_0^1 dt partial_t P(t)$

沒錯，這個東西就是Berry Phase。並且它是不依賴規範的。

4，Berry相位與拓撲。如果t=0與t=1是一個點，也即這個物理過程是個循環，一圈之後回到自己，那麼可以證明Berry Phase一定是量子化的。並且這個數是有拓撲意義的，稱為Chern數。這個就可以和反常量子霍爾效應聯繫起來了。反常霍爾效應是指不加磁場的霍爾效應，量子是指霍爾電導只能取某個常數的整數倍。假設系統是個二維絕緣體，電場加在y方向上，根據 $dot{k_y} = qE$ （牛頓第二定律），ky會移動，並且穿越布里淵區邊界後回到自己。所以我們可以把ky理解成前面說的t，kx理解成上面說得k。那麼如果Berry Phase不等於零，就說明，一個周期之後，x方向的電極化中心平移了一個晶格。這不就是霍爾效應嗎？由於拓撲的原因，Chern數只能是整數，所以這種霍爾效應一定是量子的。

二、准粒子的角度。

有時間再寫吧。。。

【1】Xiao, D., Chang, M.-C. Niu, Q. Berry phase effects on electronic properties. Rev. Mod. Phys. 82, 1959–2007 (2010).

【2】King-Smith, R. D. Vanderbilt, D. Theory of polarization of crystalline solids. Phys. Rev. B 47, 1651–1654 (1993).

可以出題目考你啊