柯西色散公式如何推導?

01-08

本人做大學物理稜鏡材料色散關係的研究時，老師提了個問題，柯西推導的 $n=A+frac{B}{{lambda}^{2}}+frac{C}{{lambda}^{4}}$ 的公式如何推導，百度過未果，求救。。

學術問題為什麼求百度呢？

我相信題主是有過思考卻沒有得到結果才來問的，可惜國內大物課程大多比較爛，教材也好老師也好，都很爛。這樣的問題單獨提出來確實會讓人不知從何下手。

不知題主想過沒有，為什麼玻璃材料會有色散？因為不同波長的光線折射率不一樣。

那麼，為什麼不同波長的光線折射率不一樣？

更追根究底，折射率是怎麼回事？為什麼光線進入一種介質就「變慢」了？

相信題主已經知道，光是一種電磁波，我們不妨假設有一列平面波（也就是一束平行光）沿著 z 軸照射到介質表面，平面波的方程是

$E_s=E_0e^{iomega (t-z/c)}$

假設這個波要通過一個厚度為 Δz 的介質，如果在介質中電磁波速度是 c/n 那麼在介質中電磁波就會額外花費一些時間來傳播

$Delta t=(n-1)Delta z/c$

所以介質之後的電磁波的方程就是：

$E_f=E_0e^{iomega(t-(n-1)Delta z/c-z/c)}=e^{-iomega(n-1)Delta z/c}E_0e^{iomega (t-z/c)}=e^{-iomega(n-1)Delta z/c}E_s$

所以，在介質之後的電磁波，與原先的電磁波相比，相當於「延後」了一個相位（就是乘以了一個相位因子 $e^{-iomega(n-1)Delta z/c}$ ）

當電磁波從真空中照射到一種介質（比如玻璃）上，這種介質里的原子、分子，就會受到影響而震蕩起來（當然原子核受到各種約束其實是震蕩不起來的，震蕩起來的只是原子外層的電子）

如果我們設置介質表面位於 z=0 的地方，那麼介質表面處的場強就是

$E_s=E_0e^{iomega t}$

那麼在介質中的電子就受到這樣一個策動力進行運動，如果我們認為原子外層的電子，其運動行為類似於一個彈簧振子（這個假設非常的想當然，但的確是對真實情況的一種很好的近似）那麼一個彈簧振子在周期性策動力下表現為一個簡諧振動，運動方程是：

$mfrac{d^2x}{dt^2}+momega_0^2x=q_eE_s=q_eE_0e^{iomega t}$

這裡 $omega_0$ 是彈簧振子的固有頻率

這個式子在大學物理課程的運動學部分已經學過，這是一個無阻尼簡諧振動的方程，他的解是

$x=frac{q_eE_0}{m(omega_0^2-omega^2)}e^{iomega t}$

所有電子都在其平衡位置附近做這樣的簡諧振動。所有電子同時做這樣的簡諧振動，就產生了一個整體的震動的場強，從而產生了一個新的電磁波（這部分推導比較繁瑣因此略去）

$E_f=-frac{NDelta z q_e}{2epsilon_0c}left[iomegafrac{q_eE_0}{m(omega_0^2-omega^2)}e^{iomega(t-z/c)} ight]$

對比一下就可以知道

$n=1+frac{Nq_e^2}{eepsilon_0m(omega_0^2-omega^2)}$

這個式子里 $omega_0$ 是介質中電子的「固有頻率」， $omega$ 是電磁波的頻率，反比與電磁波的波長

到這裡我們才看出來，折射率和波長是什麼關係

把上面式子里無關的常數都放到一起，頻率換成波長，可以得到這樣的結果：

$n=1+frac{a}{1/lambda_0^2-1/lambda^2}=1+frac{alambda_0^2}{1-(lambda_0/lambda)^2}$

這裡 $lambda_0$ 就是與 $omega_0$ 對應的「固有波長」

對於常用的玻璃來說， $lambda_0$ 在紫外區域，對於可見光波長範圍內的 $lambda$ 都有 $lambda_0/lambda ll 1$ ，按照級數展開，就有：

$n=1+alambda_0^2+frac{alambda_0^4}{lambda^2}+frac{alambda_0^6}{lambda^4}+cdots$

儘管柯西公式是一個經驗公式，但確實能從折射率的微觀機理上得到解釋。

事實上的介質材料（比如玻璃），往往具有多個不同的固有頻率，同時電子的受迫振動也並非簡諧振動而是阻尼振動，將這兩項因素考慮進上面的推導過程，能得出更接近實際情況的折射率表達式來。但對於推導柯西公式來說，這裡就足夠了。

另外，題主若是真想要學習一點東西，不要用百度了，google輸入「色散公式柯西」第一個就是中文維基，裡面有一些有用的知識，包括本問題也在很前面的位置，後面也有很多資料、教材。如果用英文搜「Cauchy"s equation dispersion」能出更多的結果，有很詳盡的資料講義。以上答案參考了費曼物理學講義第一卷，這是一本很好的教材，題主若是對物理學感興趣不妨看看。另外後面列出了幾條跟色散相關的 wiki 頁面，題主有興趣不妨看看

[1] Dispersion (optics)

[2] Cauchy"s equation

[3] Sellmeier equation

在其它文獻上「a3實驗三正常色散中的科希方程驗證」是：

這是怎麼回事？謝謝！