為什麼寫出一個系統的 Hamiltonian 取決於 symmetry 和 energy scale?

謝邀。這個問題用為什麼來提問總覺得有點彆扭，但是深入去想，實際上代表了幾個物理科學的基本理念:

一個系統的哈密頓量實際上對應你對這個系統的「數學描述」，而物理上，我們要遵循如下基本法來選舉這個哈密頓量

1. 一個物理理論需要簡潔的、具有代表性的系統性質。絕大部分的系統性質都在對稱性質和拓撲性質之中。
2. 一個物理理論必須可以由一個或者多個實驗事實進行驗證。
3. 雖然我們往往並不要求(奢求)單個物理理論能夠描述一個系統的所有性質，但是我們追求一個描述系統的所有性質的理論。

對稱性往往靠人類的觀察和經驗就可以得出，構造一個相對簡單的、具有描述這個系統部分性質的理論後，再來嘗試添磚加瓦.

e.g. 真空球形雞——真空鏡像雞——現實鏡像雞——現實真實雞

完全憑人類認知和簡化的真空球形雞理論已經可以描述雞能吃這個性質了，在這個層面上這是一個好理論。但是真空球形雞理論沒法描述雞隻向兩個特定的方向跑（前進、後退），所以我們選擇構造一個真空鏡像雞。

能量尺度則是另一個種類的約束條件，也就是討論問題的範圍。由於凝聚態物理還是建立在場論(尤其是微擾論)框架下的，在人類寫不出萬物理論之前，我們構造的所謂的有效理論必然有其適用範圍(微擾性質決定的)。同時也是上面談到的第二個基本理念約束的。

而且僅僅憑對稱性構造出的哈密頓量還是需要和實驗比對進行修修補補的。

BTW，對稱性真的只有人類的觀察和經驗才可以得出嗎？AI行嗎。

symmetry決定了守恆量，也決定了接下來選擇的eigenspace和計算的簡化過程。

energy scale決定了哪幾項要留哪幾項可以先略去，因為實際問題整個H一般都是解不出來的。

所以你做想像實驗研究一個系統時，都要先考慮這些問題。