Wolfram Alpha上，-27^(-1/3)的計算結果為什麼是一個虛數？

01-08

在數學方面才學疏淺，求賜教

@王贇 Maigo 的回答有誤， @宋一喵的回答是對的，但是沒有說明白主值的問題……

由於f(z)=z^(1/3)是一個多值函數，而且在複平面C上有三個單值解析分支，Mathematica給出的是其中的主值分支。那麼什麼是主值呢？

先回顧一下在複平面上冪函數的定義：

$z^a = e^{a ext{Log}z}$

之所以用大寫的Log，是因為對數函數Log z也是多值的

（準確地說，冪函數的多值性來源於Log的多值性，而Log的多值性來源於Arg的多值性）

$ext{Log} z = ext{Log} (re^{i heta})= ext{log } r+i ext{Arg} z = ext{log } |z| + i ( ext{arg} z + 2kpi) (k in Z)$

方便起見，需要指定一個最常用的單值分支，稱為主值分支。對於冪函數，MMA取的主值分支滿足輻角的取值範圍是(-π,π]，這也是一個比較trivial的取法。

那麼這時候我們如果對-27求三次方根 $(-27)^{-frac{1}{3}}$ ，實際上做的是：

$ext{Log}(-27)= ext{Log}(27e^{ipi})= ext{log}(27)+ipi$

$(-27)^{-frac{1}{3}}=e^{-frac{1}{3} ext{Log}(-27)}=e^{-frac{1}{3} ext{log}(3^3)-frac{1}{3}ipi}=frac{1}{3}(cos(-frac{1}{3}pi)+sin(-frac{1}{3}pi))=frac{1}{6}-frac{sqrt{3}}{6}i$

而如果寫成 $-27^{-frac{1}{3}}$ ，實際上做的是

$-27^{-frac{1}{3}}=-e^{-frac{1}{3} ext{Log}(27)}=-e^{-frac{1}{3} ext{log}(3^3)}=-frac{1}{3}$

所以Mathematica始終是在複數域上進行開方運算的，並非如 @王贇 Maigo所說會選擇在複數域還是實數域上進行計算，只是碰巧對正實數進行開方運算得到的結果仍然在實數域而已。

我自己也碰到過這個問題，是有一次做題時，需要對-8開三次方（希望得到-2），結果卻得到了複數，然後找了幫助文件。剛去MMA的幫助里找了下，果然是有的：

Functions That Do Not Have Unique Values

在幾乎所有的情況下，方程有許多可能的解. 但是唯一的「主要」值必須被選擇. 這個選擇不可能在整個複平面上都是連續的，不連續線或分支線必定出現. 這些分支線的位置常常是相當任意的. Wolfram 語言對它們進行最標準的數學選擇.

我印象里MMA還有強製取實數根的一個開方函數，但是一下子找不到了，不過也不要緊，只要保證始終是對正實數開方就不會有這個問題（因為輻角是0）。

根據你具體輸入形式的不同，WolframAlpha可能選擇在實數域或複數域內計算。而複數域內有三個解。

傳說中的多值函數啊親

輸入 cube root of -27，他會告訴你-3，並且給出三個根

第一個是主值，（大概因為它輻角最小

(-27)^(1/3) 先會給出主值，而三次根號-27會給算數立方根，就是實數根