請問角動量這個基本物理量是如何產生的？
角動量這個概念非常難以理解，但是卻如此重要。那麼請問這個物理量是在歷史什麼情況下產生的？有直接推動角動量這個物理量誕生的事件嗎？
謝邀，拉格朗日量在空間轉動下的不變性。
先做一個不甚完整的回答。
先看經典力學裡的角動量吧，並不是非常難以理解，（之前打錯了公式轉動慣量多加了平方，真對不起Prof.宋，多謝知友提出）
角動量等於動量和到原點位移的叉乘，也等於轉動慣量乘以角速度。這裡的每一項都有明確的物理意義。引入角動量在經典力學中是非常自然的結果。合外力矩為零時系統角動量守恆，這對應的是平直空間中的旋轉不變性。諾特定理指出，每一種對稱性對應一個守恆流，空間平移不變性對應動量守恆，時間平移不變對應能量守恆，空間旋轉不變對應角動量守恆。物理學最喜歡的就是守恆量，而有這麼重要的守恆流對應，不研究角動量說不過去啊。再來看量子力學。角動量在經典力學裡如此重要，那麼引入進量子力學也是非常自然的。但是處理起來就麻煩許多。這主要是因為:（不嚴謹歸因，僅作說明）1.角動量在QM中是分立的、量子化的。2.各獨立方向的角動量之間不對易。3.許多粒子帶有內稟角動量——自旋這樣處理起來很麻煩，這些行為都是經典力學裡不曾處理的。QM能正確地理解和處理這些現象，恰好說明了角動量的本質比在經典力學裡的理解要深刻得多。回到題主的問題，這個物理量是在歷史什麼情況下產生的？有直接推動角動量這個物理量誕生的事件嗎？
如上所述，經典力學裡的角動量引入是非常自然的，是非常基礎而正常的推論。開普勒面積定律就能看成是角動量守恆的一種描述，我個人想不到有什麼事件導致了角動量的誕生。
而在QM中，沿著經典力學、分析力學的套路接著走而已，只是使用的數學方法不一樣了。
特別提出自旋，自旋角動量部分符合題意，是特別引入用來處理電子磁場的。泡利猜電子具有這個額外的自由度，但沒說具體是什麼。Ralph Kronig測到了電子的「自轉」，但是泡利發現這一自轉會導致電子轉速超過光速這一荒謬的結論，倒霉蛋Ralph Kronig就沒敢發表。後來的研究表明，電子自旋有更深層的物理意義。更多的信息請參考教科書與Wiki.為角動量正名
物體平動和轉動時，各有一個守恆量：平動——動量，轉動——角動量。
研究平動用動量，研究轉動用角動量。研究平動用速度，研究轉動用掠面速度（勻速圓周運動時掠面速度退化為角速度）。研究平動用力，研究轉動用力矩。
關鍵是，為什麼？
先看平動。研究物體在力的作用下的運動，不妨先從不受力的情況開始。這正是牛頓第一定律的內容：自由物體（也就是不受力的物體），都將保持靜止或勻速直線運動狀態，直至外力迫使它改變。這就是說，不受力的物體將處在一個「穩態」，在這個穩態下，他的運動狀態保持不變。什麼是運動狀態？就是速度。靜止或勻速直線運動，換一種簡潔的表述，就是速度不變，或者說，加速度為零。
不受力的時候處於穩態，受力的時候就要穩態就要打破，也就是速度發生變化，也就是加速度不為零，且加速度和力成正比，也就是熟知的公式F=ma=m dv/dt. 這正是牛頓第二定律揭示的內容。
那麼轉動呢？物體為什麼轉動？因為受到了力的作用，具體說，就是某種向心力的作用。因此完全可以用牛頓第二定律去分析。但問題是，似乎有更方便的做法。
對轉動問題的研究，最早起源於對天體運動的分析。行星雖然受到恆星引力的作用而不斷改變運動狀態，但行星運動有著固定的周期和穩定的軌道，不能不說這是一種「穩態」。這種「穩態」和牛頓第一定律中描述的自由物體所具有的「穩態」頗有相似之處，但顯然又不完全一樣。牛頓第一定律中的「穩態」，姑且稱之為「平動穩態」，我們已經知道可以用速度這個物理量來表示，這個穩態就意味著速度不變。那麼受向心力作用而轉動的物體所對應的固定周期固定軌道的「轉動穩態」又可以用什麼物理量來描述呢？
不妨先看看勻速圓周運動。最初，人們認為天體都做勻速圓周運動，因為勻速圓周運動是轉動的最簡潔的形式。做勻速圓周運動的物體雖然速度方向時刻改變，但大小保持固定。是否可以用速度的絕對值來描述轉動穩態？可以。但還有一個更合適的物理量，那就是角速度。表達式是w=r×v. 用速度描述平動的運動狀態，用角速度描述轉動的運動狀態。繼續類比平動時的牛頓定律，既然F=m dv/dt, 那麼就有r×F= r×(m dv/dt)= m d(r×v)/dt=m dw/dt. 給r×F這個量起個名字，就叫做力矩，記作M. 至此，已經得到了和平動下牛頓定律完全類似的勻速圓周運動下的「轉動牛頓定律」。即，①不受力矩作用時，角速度不變；②角速度的改變，即角加速度和所受力矩成正比M=m dw/dt.
很對仗，很工整。但這樣做的好處是什麼呢？難道只是為了好看嗎？
當然不是，用角速度和力矩的概念，可以在明明受到了向心力作用的情況下，卻不用牛頓第二定律去做向心力的受力分析而只研究其他力的作用。也就是說，找到了物理量角速度w, 這個量在受到向心力作用的情況下，仍能保持不變。於是又相應地構造了物理量力矩M, 它的意義就是從「力」的概念中，抽離了向心力的那一部分，得到真正能夠改變角速度的那部分力。也就是表達式M=m dw/dt.
為什麼能做到這一點？看數學表達式，用徑矢r去叉乘力矢量，不正是消掉了和r平行的那部分（俗稱徑向分量）而保留了和r平行的那部分（俗稱切向分量）嗎？徑向分量是什麼？不正是向心力嗎？因此這樣就能不管已知的向心力的作用，而抽出手來去研究其他力的影響。而如果除了向心力再無其他力的作用，物體將保持一個穩態。這個穩態由一個不變物理量來描述，那就是角速度w.不變數，俗稱守恆量。物理學就是在不斷地尋找這樣的量。
可惜事實沒有想像的那麼完美。進一步的觀測發現，沒有一個天體是按正圓軌道運行的，且各不相同。速度不僅方向不斷改變，大小也時時不同。角速度也不再是守恆量。那麼，天體的運行還有規律可尋嗎？
有。這就不能不說到偉大的開普勒。開普勒用了十幾年的時間從他的導師第谷十幾年的觀測數據中，總結出了我們熟知的開普勒三定律。其中，開普勒第二定律：太陽系中太陽和運動中的行星的連線（徑矢）在相等的時間內掃過相等的面積。由此可引入一個物理量，掠面速度。在牛頓力學的基礎上，可以證明，一個物體如果受到有心力的作用，那麼此物體繞力心的掠面速度恆定；而不受力的自由粒子（於是必然做勻速直線運動）繞任一定點的掠面速度恆定。
掠面速度，才是我們真正要尋找的轉動情況下的守恆量。而角速度，只是當轉動恰好為勻速圓周運動時候的特殊情況。
先看不受力的情況：如下圖a，由於做勻速直線運動，每隔固定時間粒子前進的距離相等，而雖然粒子與定點O的連線（即徑矢r）的長度不斷變化，但徑矢在垂直於速度方向的分量（圖中OH）卻保持不變。於是單位時間內徑矢掠過的區域（掠面三角形）為一族等底等高的三角形。它們顯然面積相等，也就是掠面速度恆定，恆為1/2 rvsin ，用矢量表示，就是掠面速度s=1/2r×v.
（圖選自趙凱華先生《新概念物理教程·力學》）
再看有心力情況：如上圖b，在第一個時間間隔dt內，物體以某一初速度由A運動到B. 在下一時間間隔，如果物體不受力，它將沿AB繼續向前移動一個相同的距離到C， AB=BC.
這和前面討論的勻速直線運動情形相同， △OAB和△OBC面積相等。但由於有心力的作用，物體還將產生一個沿BO平行方向的位移到C』. CC』∥BO.夾在兩平行線OB和CC』中間的△OBC和△OBC』有相同的底邊OB和高CD, C』D』，於是面積相等。於是△OAB和△OBC』面積也相等，即掠面速度不變。
以此類推，可知掠面速度將一直保持下去。
對比上面兩種情況可以發現，受有心力作用的運動，和在勻速直線運動的差別就在於，每一時刻都被有心力向力心「拽」了一下。但由於「拽」的方向與上一時刻徑矢平行，並不改變掠面三角形的面積，因此掠面速度得以保持不變。
到此，我們已經得到：當一個物體受有心力的作用，則它對和力心連線的掠面速度保持不變，或換言之，略面加速度為零。這是由力學原理演繹所得，並非由經驗歸納，因此是定理而非定律。不妨叫它開普勒第二定理。
開普勒第二定理拓寬也收窄了牛頓第一定律的範圍。牛頓第一定律找到了一個不變數，或說守恆量——速度v，但它不是永遠不變，只有在受力為零時才不變。而開普勒第二定理找到了另一個守恆量——掠面速度r×v，它不僅在不受力時保持不變，在收到某些特殊形式的力（也就是有心力）的時候，仍保持不變。同是某個守恆量，一個只有在受力為零時才適用，另一個在不受力和受有心力時都適用。適用的情形變多了，所以說開普勒第二定理拓寬了牛頓第一定律的範圍。但拓寬範圍的同時，對守恆量的要求卻更嚴格了。因為守恆量不再是速度，而是徑矢和速度的叉乘r×v，也就是掠面速度。所以又說它收窄了牛頓第一定律的範圍。
既然開普勒第二定律和牛頓第一定律如此相像，那麼完全可構造出有心力情形的「牛頓第二定律」、「牛頓第三定律」。既然可以用速度和質量的乘積構造出動量，那麼也同樣可以構造出有心力情形的「動量」。羅列如下：
剩下的就和平動力學一樣了。不過有一個不同：平動情形，質心系總動量為零；而轉動情形，質心系總角動量可以不為零，也即，具有自旋角動量。這個問題，以後有機會再嘮。
完
空間旋轉不變性
如果題主覺得動量的概念的提出是自然的，那也應該覺得角動量的概念是自然的。如果認為後者不好理解，我覺得大概是對物體轉動這樣的運動方式接觸的少。
理一理邏輯鏈，
刻畫物體平動---&>定義了速度----&>刻畫物體速度變化----&>定義了動量----&>牛頓第二定律刻畫物體轉動---&>定義了角速度----&>刻畫物體角速度變化----&>定義了角動量----&>角動量版的牛頓第二定律
更向深一步理解，三維空間中物體可以沿著三個方向平動，也可以沿著三個方向轉動。動量和角動量則精確的刻畫了物體按這兩類運動模式的運動的物理量。如果物體的動量/角動量守恆，則意味著該物體有著空間的平移/轉動不變性。這也就是著名的Noether定理。
如果說歷史上，我能想到的例子，大概也是Kepler在觀測天體運動的時候討論過的吧。補充一下，角動量不是個基本物理量，基本物理量只有7個
來源於旋轉對稱性，又或者說是旋轉變換規範不變性
微元動能積分產生的概念。微積分第一冊和力學第一章。
至於角動量守恆，三個量度的積守恆，可以理解為一種表面的規律。至於實質，不是現代人所能掌握的。小實驗發現規律，然後無理地推廣到全宇宙，邏輯上有漏洞，但現實中運轉良好。推薦閱讀：