聲子有沒有質量？

01-08

取決於定義和你關心的聲子類型. 有的定義下是有的, 有的定義下是沒有的. 通常聲學模聲子沒有質量, 而光學模聲子有.

聲子不是實物粒子, 而是晶體中的准粒子. 晶體環境下關於 "粒子" 的一些表達和真空中還是有所區別的, 從而導致了對什麼叫做 "質量" 可以有不同的理解.

首先看一下什麼是真空中的質量:

(當然這裡和引力質量沒有關係) 質量聯繫了動量和能量.

從最基礎的角度來說, 質量是粒子拉格朗日量中勢能項的係數, 以最簡單的標量場為例:

$mathcal L = frac 12 partial_muphi,partial^muphi - frac 12 m_0^2phi^2$

第一項表示的四個求和項係數相等這個形式是由洛倫茲協變數性保證的.

(這一句請跳過)更高級一點的敘述當中, 重整化時表觀質量的定義為傳播子的奇點, 也和這個形式直接相關; Higgs 機制在基態附近展開後, 質量的定義同樣是上述公式里二次項的係數.

拉格朗日量和哈密頓量通過勒讓德變換聯繫. 上述拉格朗日量變換的哈密頓量是:

$mathcal H = frac 12 pi^2 + frac 12 ( ablaphi)^2 + frac 12 m_0^2 phi^2$

其中 $pi = dotphi$ 是正則動量. Klein–Gordon Field 方程中它的平面波解 $phi = exp (mathrm i k_mu x^mu)$ 給出了色散關係:

$omega = sqrt{|vec k|^2 + m_0^2}$

據此可以推導出大家熟悉的 $E = mc^2$ ( $p = k/hbar$ , 此處之外前文取單位制 $c=1=hbar$ , 注意這裡的 $m=m_0/sqrt{1-v^2/c^2}$ ).

然而, 以上定義依賴於洛倫茲協變性 (拉格朗日量在洛倫茲變換下不變), 這一點在晶體中是不存在的, 因為晶格定義了一個特殊的參考系, 物理規律就不再是洛倫茲不變的了.

於是上面的空間項和時間項的係數就未必相等了, 色散關係也未必是 $omega = sqrt{|vec k|^2 + m_0^2}$ . 關於質量定義的分歧在於, 這個時候對於質量的定義, 是參照 $omega (vec k=0)$ 的值, 還是參照 $omega(vec k)$ 在 $vec k$ 很小的時候展開的行為 $frac 1{m^*}equiv frac{partial^2 omega}{partial k^2}$

前者和 @蔡家麒的定義是一致的, 這麼定義的好處是可以表達出最少需要多少額外的能量才能產生出一個聲子; 在我看來後者其實更加常見, 一般稱這個定義為有效質量. 有效質量和聲子的動力學性質密切相關. 中學課本里說質量是物體慣性大小的測量, 實際上相當於是在說有效質量.

從 Wiki 上借一張圖:

圖示為較簡單的聲子色散關係示例. 實際情況可能複雜得多.

一般來說聲子分為光學模聲子 (optical phonon, 對應同一個晶胞里不同原子具有近似相反相位的振動模式) 和聲學模聲子 (acoustic phonon, 對應同一個晶胞內的原子振動相位幾乎相同的振動模式).

對於聲學模, 通常來說在 $vec k o 0$ 的時候頻率 $omega$ 是正比于波矢 $|vec k |$ 的, 也即線性色散/恆定聲速, 這時候 $omega(vec k = 0)$ 是 0, 有效質量也是 0. 即可以說不論什麼定義, 聲子都沒有質量. 但當 $vec k$ 較大的時候就不是這樣的了.

但對於光學模 $omega(vec k=0)$ 不是 0, 有效質量也不是 0 (如上圖所示是負有效質量). 所以對於光學模的聲子來說, 總是有質量的.

聲子是無質量的。

准粒子（激發）是否是massless如何定義？在模式 $vec k o 0$ 時，頻率 (能量) $omega_{vec k} o 0$ 就是無質量的。具體的證明聲子無質量的實驗可以參照下圖(取自Condensed Matter Field Theory,Atlands，侵刪):

典型的無質量的集體激發模式:Phonons,Magnons,Goldsone Modes,etc.

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謝評論區的提醒，我忘記了一般意義下的聲子是定義在全波段的。對於高頻率聲子的光學mode，也就是所謂的光學聲子(optical phonon)是具有質量的。上面的圖也能表達。

沒有質量，但是有準動量。

根據愛因斯坦質能方程 $E=mc^{2}$ ，一定的質量 $m$ 對應一定的能量 $E$ 。即能量就有質量，二者的定量關係由比例係數「光速的平方」 $c^{2}$ 聯繫起來。

聲子作為玻色子，其靜質量為 0 。但聲子作為周期性晶格振動的簡正模能量的量子，是具有能量的。一個聲子的能量是 $E_{ m phonon}=hbar ω$ 。根據愛因斯坦質能方程，我們有 $hbar ω=mc^2$ 。解得， $m =hbar ω/c ^2$ 。於是，一個聲子恆有動質量 $m =hbar ω/c ^2$ 。

聲子是晶格整體振動的一種具象描述，不是實體粒子。

聲子是基態對於連續變換自發對稱破缺的一種數學產物。哈密頓量的微擾項可以類比一個質量項，而對於連續變換，這個質量項產生的色散關係，E和k是線性的，這個和光子一樣。所以沒有質量

聲子磁子等一系列「准粒子」是為了能將凝聚態中的集體低能級激發問題轉化為我們已經熟悉的粒子問題，所以它們並不具有粒子的實體，也就沒有一般我們通俗意義上的質量。

但是如果一定要將它理解為「粒子」，也是可以根據它的能量和動量來定義質量的。

准粒子是否有質量取決於是否無窮小的能量就能激發該准粒子。能激發就是無質量。需要一定的能量才能激發，這種准粒子就有質量。

故光學聲子有質量，其他聲子無質量。

你手機聽歌耗電嗎？

光具有波粒二象性，那麼類比而來，聲波應該對應一個微觀粒子，就定義為聲子。不是實在的物質，也就不具有質量。

沒有質量，但有「有效質量」。