為什麼奇異上同調可以定義乘法？

01-08

如題。我們知道奇異上同調可以定義cup product成為分次環。但是下同調就不行。所以為什麼這個乘法在上同調的定義就成為可能了呢？比如我比較接受的理由是奇異上同調是 $Hom(-,R)$ 函子弄出來的，所以定義是可以的。還有我看過的一個理由，說因為 $H^*$ 是反變函子，所以根據Kunneth定理， $H^*(X) otimes H^*(X) ightarrow H^*(X imes X) ightarrow H^*(X)$ ，（最後一個箭頭是對角映射誘導的）能夠允許發生些什麼。進而，其它類型的上同調，比如很多 $K$ 理論啊或者導出函子定義的群上同調、層上同調啦，能不能定義乘法什麼的？

可以從（上）同調的譜理論來看待這個乘積結構，雖然我不清楚這個觀點是否更本質。無論是普通同調還是k理論都對應相應的譜，而這些譜上定義的各種乘積結構可以導出（上）同調上的各種乘積結構，例如cup，cap，kunneth等等。

There is a product map in homology, the so called "Pontryagin product", which is in some sense a dual of the cup product. But the properties of the Pontryagin product are very bad (it is not associative in general) unless the topological space is really nice (like a Lie group). So it is not as useful as the cup product (but it is still useful in differential topology). For this you can look up the corresponding section in Hatcher( page 278). I think the main reason that cup product exists is we can use the diagonal map to define the product in cohomology, but there is no such nice maps in homology(see Hatcher, page 187). But I guess you must know this already. The similar reasons holds for topological-K-theory. For a reference, see Atiyah"s book K-theory (page 89).

I think this "basic fact" is actually very important. It makes the cohomology theory in general a lot nicer than homology theory, because there is a lot of information lying in the cup product structure not available from homology groups. For a basic example, it is well known that CP^2"s connected sum with its dual is not differeomorphic to S^2"s product with S^2. But a quite involved computation on homology would show all the homology groups are isomorphic. However, the intersection form showed the two manifolds are in fact different. So even at a very basic level, while theoretically we can deduce the cohomology groups from homology groups using tools like universal coefficient theorem and Poincare duality, we can actually get more information via the cup product. I think this is one reason cohomology theory is so powerful.

Reference:

http://www.cimat.mx/~luis/seminarios/Teoria-K/Atiyah_K_theory_Advanced.pdf

http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

為什麼奇異上同調可以定義乘法?

我想這是一個可以用看參考書的方法來解決的問題. 例如, 樓上的 @匿名用戶說去看Hatcher吧.

抄一段姜伯駒&<&<同調論&>&>的前言(p. iv):

上積與卡積, 用奇異鏈來定義的傳統講法是最簡潔的, 巧得有點莫名其妙. 我們
有意先用胞腔同調的講法, 以說明為什麼上同調會有乘法, 並且指出奇異鏈定義

式的由來. 這樣兩種講法相輔相成, 有助於讀者的理解.

再抄一段 @狄拉克運算元在如何迅速掌握拓撲學精髓？ - 狄拉克運算元的回答

在學習同調論的時候，我覺得可以暫時放下最基本的拓撲定義，一切從單純復形著手，當然有時候CW復形更方便一些，總而言之，就是將一個拓撲空間拆分成一個個小的簡單空間。

奇怪的是 @狄拉克運算元在這裡沒有使用他提到的回到單純復形的學習方法.

編輯於 2015-07-09

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Hatcher的書上對cup product的由來講得很清楚，我覺得我應該是沒有能力給出更好的解答了。

狄拉克運算元的答案是「正確但是沒有幫助的」。歷史上，人們先知道上同調的唯一性和乘法，然後由Brown表示定理才會想到去研究Spectrum上的「乘法」，即某一系列的拓撲空間上的某種類似乘法的結構。（我們叫這個H-ring）。

至於作者最後的問題，我很懷疑是剛學完上同調，又聽說了幾個看上去很高大上的名詞，就想把它們聯繫起來，甚至作者根本不知道什麼是sheaf cohomology什麼是group cohomologu。雖然好奇心和求知慾值得肯定，但是這樣不求甚解的態度對學習數學是十分有害的。（我自己就曾深受其害）

如果你對數學了解得多一點，就會知道這些cohomology根本是完全不同的東西，相互之間的聯繫不能說沒有，但是完全沒有任何理由把它們放在一起比較。

下同調的相交算是一種乘法吧？