實數集 R 為什麼既是開集又是閉集？

01-08

重點在於為什麼是閉集？

一般度量拓撲下實數軸都是閉集，因為它上面的點列的極限點還在它上面，而這裡閉集的定義是極限點都在自己身體裡面的集合稱為閉集，因此實數軸就是閉集。

===============來談談拓撲===============

根據定義，每一個拓撲，首先需要確定研究的集合（全集）是什麼，然後確定哪些子集合是開集，保證全集和空集是開集，開集的有限交和和任意並是開集。最後定義開集的補集也就是全集減去一個開集得到集合叫閉集。

從上面的定義立即可以斷定全集一定是開集。因為空集是開集，全集減去空集等於全集，因此它也是閉集。

下面來看三個例子：

實數軸既開又閉：如果我們只研究實直線，全集就是實數軸，它就一定又開又閉。

實數軸是閉集，但不是開集：如果研究的全集是二維平面，開集選擇咱們通常意義上的開集，那x軸作為實數軸，就是閉集而不是開集，因為它是上下兩個開集半平面的並的補集，不是閉集的補集。

實數軸是開集，但不是閉集：（硬想出來的）考慮全集是平面上xy=0的集合，也就是x軸和y軸並起來。定義初始開集為四個帶0半軸，因為這四個半軸兩兩相交交集都是原點，因此原點作為單點集也是開集，這五個開集（稱為最終拓撲的一個基）的任意並集就是這個拓撲的全部開集了。它們的補集就是全部閉集。因為y軸正半軸和負半軸是閉集，其並集是閉集，而且怎麼也不是開集，它的補集，x軸就是開集而不是閉集。

所以說，實數軸可以只開不閉，只閉不開，也可以既開又閉。因此避開討論具體拓撲的範圍和定義，空談開閉都是耍流氓。

考慮一個由 $mathbb{R}$ 構成的拓撲空間：

在 $mathbb{R}$ 上任意取一點 $x$ ，你都可以找到一個 $epsilon >0$ ，使得 $(x - epsilon , x + epsilon) subset mathbb{R}$ ，因此根據定義 $mathbb{R}$ 是開集。

而空集 $varnothing$ 同樣有這個性質。為什麼？因為空集里根本就不存在點。在一個假的前提條件下，任何實質條件都是真的（vacuously true）。因此 $varnothing$ 是開集。

而根據定義，空集 $varnothing$ 作為 $mathbb{R}$ 的補集： $varnothing$ 是開集就意味著 $mathbb{R}$ 是閉集， $mathbb{R}$ 是開集就意味著 $varnothing$ 是閉集。

因此， $mathbb{R}$ 既是開集又是閉集， $varnothing$ 也既是開集又是閉集。

首先既是開集又是閉集

至於為什麼……by definition

首先我們需要知道開集，閉集的定義

開集、閉集、內部、外部、邊界和附著點這些概念屬於點集拓撲

下面說一下度量空間的點集拓撲

我們首先需要度量球或簡稱球的概念

定義1 (球) 設 $(X,d)$ 是度量空間， $x_0$ 是 $X$ 的點，並設 $r>0$ ，定義 $X$ 依度量 $d$ 以 $x_0$ 為中心、 $r$ 半徑的球 $B_{(X,d)}(x_0,r)$ 為集合
$B_{(X,d)}(x_0,r):=$ { $xin X:d(x,x_0)<r$ }
當度量空間 $(X,d)$ 是明確的，把 $B_{(X,d)}(x_0,r)$ 簡寫為 $B(x_0,r)$ 。

比如在 $mathbb{R}^2$ 中，依歐幾里得度量 $d_{l^2}$ ，球 $B_{(mathbb{R}^2,d_{l^2})}((0,0),1)$ 是開的圓盤

$B_{(mathrm{R^2},d_{l^2})}((0,0),1)=$ { $(x,y)in mathbb{R}^2:x^2+y^2<1$ }

使用度量球，在度量空間 $X$ 中取一個集合 $E$ ，可以把 $X$ 的點分為三種類型： $E$ 的內點， $E$ 的外點， $E$ 的邊界點

定義2(內點，外點，邊界點) 設 $(X,d)$ 是度量空間，設 $E$ 是 $X$ 的子集，並設 $x_0$ 是 $X$ 的點。說 $x_0$ 是 $X$ 的內點，如果存在半徑 $r>0$ 使得 $B(x_0,r)subseteq E$ ，說 $x_0$ 是 $E$ 的外點，如果存在半徑 $r>0$ ，使得 $B(x,r)cap E=emptyset$ 。說 $x_0$ 是 $E$ 的邊界點，如果它既不是 $E$ 的內點，也不是 $E$ 的外點。

$E$ 的全體內點所構成的集合叫做 $E$ 的內部，有時記作 $mathrm{int}(E)$ ， $E$ 的外點的集合叫做 $E$ 的外部，有時記作 $mathrm{ext}(E)$ ， $E$ 的邊界點的集合叫作的邊界，有時記作 $partial E$ 。

比如在具有標準度量 $d$ (見下面的定義)的實直線 $mathbb{R}$ 上，設 $E$ 是半開區間， $E=[1,2)$ ，點 $1.5$ 是 $E$ 的內點， $3$ 是 $E$ 的外點， $1,2$ 即不是外點也不是內點，它們是 $E$ 的邊界點，還有 $mathrm{int}(E)=(1,2),mathrm{ext}(E)=(-infty,1)cup(2,infty)$ ，而 $partial E=$ { $1,2$ }

定義3(開集和閉集) ) 設 $(X,d)$ 是度量空間，並設 $E$ 是 $X$ 的子集合，說 $E$ 是閉的，如果它含有它的一切邊界點，即 $partial Esubseteq E$ 。說 $E$ 是開的，如果它不含邊界點，即 $partial Ecap E=emptyset$ 。如果 $E$ 含有它的一些邊界點而有不含另一些邊界點，那麼它既不是開的也不是閉的。

注意如果一個集合沒有邊界點，即 $partial E=emptyset$ ，那麼它既是開的，也是閉的，這是可能的，在度量空間 $(X,d)$ 中，全空間 $X$ 沒有邊界( $X$ 的每個點都是內點)，所以 $X$ 是既開且閉的。空集也沒有邊界( $X$ 的每個點都是它的外點)，從而也是即開又閉的。在很多情況，這是僅有的即開又閉的結合，但也有例外，例如，採用離散度量 $d_{disc}$ ，每個集合都是既開且閉的。

從上面我們看到，作為開集和作為閉集，這兩個概念並不是互相否定；存在既開且閉的集合，也存在既不開且不閉的集合。於是，如果知道 $E$ 是不是開集，而由此斷言 $E$ 是閉集，那就錯了，同樣，從 $E$ 是閉集也不肯斷言 $E$ 就是開集。開集和閉集的正確關係由下面命題給出

命題1 設 $E$ 是 $X$ 的子集， $E$ 是開的當且僅當補集 $Xackslash E:=$ { $xin E:x otin E$ }是閉的

順便說一下，度量空間的概念可推廣到拓撲空間，這個推廣的思想是不把度量 $d$ 看作是基礎對象，代替度量的是開集族，這是拓撲空間的基礎概念。每個度量空間 $(X,d)$ 自動地是一個拓撲空間(只要令 $X$ 的子集族 $mathcal{T}$ 是 $(X,d)$ 中的全體開集的族)，但的確存在拓撲空間，它不由度量空間產生。根據拓撲空間的定義，在拓撲空間 $(X,mathcal{T})$ 中，全空間 $X$ 和空集 $emptyset$ 自動地既開且閉。

註：設 $mathbb{R}$ 是實數集，並設 $d:mathbb{R} imes mathbb{R} ightarrow [0,infty)$ 是度量 $d(x,y):=|x-y|$ ，那麼 $(mathbb{R},d)$ 是度量空間，我們把 $d$ 叫做 $mathbb{R}$ 上的標準度量，由標準度量產生的拓撲叫作標準拓撲。設 $X$ 是任意的集合(有限的或無限的)，定義離散度量(discrete metric) $d_{disc}$ 如下