實數集 R 為什麼既是開集又是閉集?
重點在於為什麼是閉集?
一般度量拓撲下實數軸都是閉集,因為它上面的點列的極限點還在它上面,而這裡閉集的定義是極限點都在自己身體裡面的集合稱為閉集,因此實數軸就是閉集。
===============來談談拓撲===============
根據定義,每一個拓撲,首先需要確定研究的集合(全集)是什麼,然後確定哪些子集合是開集,保證全集和空集是開集,開集的有限交和和任意並是開集。最後定義開集的補集也就是全集減去一個開集得到集合叫閉集。
從上面的定義立即可以斷定全集一定是開集。因為空集是開集,全集減去空集等於全集,因此它也是閉集。
下面來看三個例子:
實數軸既開又閉:如果我們只研究實直線,全集就是實數軸,它就一定又開又閉。
實數軸是閉集,但不是開集:如果研究的全集是二維平面,開集選擇咱們通常意義上的開集,那x軸作為實數軸,就是閉集而不是開集,因為它是上下兩個開集半平面的並的補集,不是閉集的補集。
實數軸是開集,但不是閉集:(硬想出來的)考慮全集是平面上xy=0的集合,也就是x軸和y軸並起來。定義初始開集為四個帶0半軸,因為這四個半軸兩兩相交交集都是原點,因此原點作為單點集也是開集,這五個開集(稱為最終拓撲的一個基)的任意並集就是這個拓撲的全部開集了。它們的補集就是全部閉集。因為y軸正半軸和負半軸是閉集,其並集是閉集,而且怎麼也不是開集,它的補集,x軸就是開集而不是閉集。
所以說,實數軸可以只開不閉,只閉不開,也可以既開又閉。因此避開討論具體拓撲的範圍和定義,空談開閉都是耍流氓。考慮一個由構成的拓撲空間:
在上任意取一點
,你都可以找到一個
,使得
,因此根據定義
是開集。
而空集同樣有這個性質。為什麼?因為空集里根本就不存在點。在一個假的前提條件下,任何實質條件都是真的(vacuously true)。因此
是開集。
而根據定義,空集作為
的補集:
是開集就意味著
是閉集,
是開集就意味著
是閉集。
首先既是開集又是閉集
至於為什麼……by definition首先我們需要知道開集,閉集的定義開集、閉集、內部、外部、邊界和附著點這些概念屬於點集拓撲下面說一下度量空間的點集拓撲我們首先需要度量球或簡稱球的概念
定義1 (球) 設
是度量空間,
是
的點,並設
,定義
依度量
以
為中心、
半徑的球
為集合
{
}當度量空間
是明確的,把
簡寫為
。
比如在中,依歐幾里得度量
,球
是開的圓盤
使用度量球,在度量空間中取一個集合
,可以把
的點分為三種類型:
的內點,
的外點,
的邊界點
定義2(內點,外點,邊界點) 設
是度量空間,設
是
的子集,並設
是
的點。說
是
的內點,如果存在半徑
使得
,說
是
的外點,如果存在半徑
,使得
。說
是
的邊界點,如果它既不是
的內點,也不是
的外點。
的全體內點所構成的集合叫做
的內部,有時記作
,
的外點的集合叫做
的外部,有時記作
,
的邊界點的集合叫作的邊界,有時記作
。
定義3(開集和閉集) ) 設
是度量空間,並設
是
的子集合,說
是閉的,如果它含有它的一切邊界點,即
。說
是開的,如果它不含邊界點,即
。如果
含有它的一些邊界點而有不含另一些邊界點,那麼它既不是開的也不是閉的。
注意如果一個集合沒有邊界點,即,那麼它既是開的,也是閉的,這是可能的,在度量空間
中,全空間
沒有邊界(
的每個點都是內點),所以
是既開且閉的。空集也沒有邊界(
的每個點都是它的外點),從而也是即開又閉的。在很多情況,這是僅有的即開又閉的結合,但也有例外,例如,採用離散度量
,每個集合都是既開且閉的。
命題1 設
是
的子集,
是開的當且僅當補集
{
}是閉的
順便說一下,度量空間的概念可推廣到拓撲空間,這個推廣的思想是不把度量看作是基礎對象,代替度量的是開集族,這是拓撲空間的基礎概念。每個度量空間
自動地是一個拓撲空間(只要令
的子集族
是
中的全體開集的族),但的確存在拓撲空間,它不由度量空間產生。根據拓撲空間的定義,在拓撲空間
中,全空間
和空集
自動地既開且閉。
註:設是實數集,並設
是度量
,那麼
是度量空間,我們把
叫做
上的標準度量,由標準度量產生的拓撲叫作標準拓撲。設
是任意的集合(有限的或無限的),定義離散度量(discrete metric)
如下
最後來回答題主的問題
我們說實數集習慣上似乎很少有說是閉區間的,但R的確是閉集,也是區間,所以按定義應該是閉區間。
要詳細地說的話,涉及拓撲空間的概念,空集和全集為了方便起見,同時被規定為既是開集也是閉集。
==========================================為什麼拓撲要這麼定義呢?拓撲的定義在於刻畫接近,從而定義極限。
開集不包含自己的邊界,可以粗略地認為是每個點,其充分接近的點(鄰域,可以粗略地理解成小圓)都在這個集合里。
閉集定義為開集的補集,閉集外面的點,其充分接近的點都不在這個集合里。為了方便起見,我們直接把空集和全集都規定成開集。
這也是和通常的虛假前件蘊含任何後件一致。(空集沒有點,所以空集里的每個元素的鄰域都在空集里)如果不這麼做的話,就是說把空集和全集從開集、閉集里拿掉,其實也可以,但很多陳述都要做適當的修改,反而不方便。比如上面兩句話就要改為:
超過0個開集的並集若不是全集則是開集。兩個開集的交集若不是空集則是開集。全體實數包含了它所有的極限點啊
可以從下面幾個角度來證明.(1)拓撲空間的定義要求,只要這個集含有拓撲,那麼它自身既是開的,也是閉的。(2)如果給直實線配置上通常拓撲,那麼直實線上的每一個固定的點都是R的極限點,因而R開。任取R的極限點,它又是R的點,因而R又滿足閉集的定義。(3)根據定義:閉集的補集開。既然空集是開的,那麼R是閉的。(4)給R配置一個恆等映射f : R-&>R. 連續函數的定義要求每一個開集的原像關於R開,取一列R的開覆蓋,它們的原像的並是開的,取這些開覆蓋的補集,得到空集是閉的,因而R是開的,同樣的R也是閉的。
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