如何形象地理解固體物理中的k空間？

01-08

最近學習固體物理，對k空間的物理意義感覺很難於理解，看到k空間的圖總是容易去想想實際立體空間的圖像，k空間能與現實中的事物聯繫起來嗎，或者說通過類比可以加深對k空間的理解

就像時間和頻率的關係一樣。k空間就是空間頻率的空間，是位置空間的傅里葉變換。

用波包去考慮問題會更容易。考慮實空間的Gauss波包，

$langle x|psi angle = e^{-x^2/2sigma^2}$

在動量空間的波函數

$langle k|psi angle = e^{-k^2/2sigma$

其中sigma 和sigma",互為倒數（取hbar 為1）

（可以仔細的算一下Fourier Transform的結論，但是我犯個懶，就不給出具體結果了。）

實空間中大的length（晶格總長度），對應於k空間的小的length（quantized momentum的間隔）

實空間中小的length（晶格常數），對應於k空間的大的length（布里淵區的長度）

在波包的意義下，我們可以有電子在晶格中semi-classical的運動方程

$dot{m x} = abla_{m k} E_n(m k)$

$dot {m k} = -e m E(x,t)-em v imes m H(x,t)/c$

這樣，k-space中的運動和x-space中的運動是可以對應起來的。

BTW，這個semi-classical equation已經可以解釋很多的固體物理的現象：比如電場中的Bloch電子的運動（來回震蕩BLABLA的），但是並不不完整。

不完整的部分，是在$dot x$ 的那個方程，可以有一項修補，對應於quantum理論的Berry Curvature對於運動的影響，可以有更多好玩的結論。於是乎，topology自然的被引入到了固體理論。

k空間是動量空間，不是位置空間。看固體物理都已經大三大四了吧，不要再努力將理論和現實中的事物進行聯繫了。

如果你非要「形象」的理解一下實空間和倒易空間，請先用聲波理解一下時域和頻域二者的傅立葉關係。

如果我們用一個錄音軟體，得到是一個振幅和時間的波動圖像，這是時域。如果進行了傅立葉變換，會得到這段聲音在所有頻率下的分布，這是頻域。

回到坐標上，我們常常得到的每個原子在每個標準的位置，這是實空間，反映的是原子的位置。如果原子還有能量，這時每個能量都體現在每個原子的坐標點上。

如果進入倒易空間，根據對稱性，一堆相同的坐標都集中成了一個點，列出的只是不同的點了，這回就可以找出不同了。

所以，倒易空間，找出的是能量上的分級。

強答，如有謬誤，請各位專家不吝賜教。