凝聚態中非阿貝爾規範場（Yang-Mills場）有何應用？

01-08

見過這麼一張圖，不知道什麼意思。
歡迎幫忙邀請大神來回答。

能提供參考書目或者文獻的話就更好了

成功引玉一枚，感謝 @Tom Gao 對於量子磁性，重費米子以及QED3的精彩評論！歡迎大家去評論區圍觀點贊~

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我又來強答了。對於磁性和重費米子都不太懂，不過關於超對稱，最近有不少工作是在研究凝聚態體系臨界點附近的emergent超對稱，最著名的是Ashvin Vishvanath大神的這個工作 [1301.7449] Emergent Space-time Supersymmetry at the Boundary of a Topological Phase ，還有清華高研Hong Yao老師組也在半金屬體系里做了不少漂亮的工作。下面拋磚引玉，有不確之處，還望大夥指正。

（1）量子霍爾效應（QHE）：

阿貝爾（Abelian）的FQHE（包括整數 QHE）的有效理論是用2+1維的阿貝爾Chern-Simons理論描述的。對於非阿貝爾FQHE，5/2 Moore Read State（等價於p+ip拓撲超導體）的有效理論應該是用 $SU(2)_2$ 的非阿貝爾Chern-Simons來描述的。關於其他的非阿貝爾FQHE是否能用其他什麼的非阿貝爾CS來描述，我不太熟悉所以不敢亂說。關於FQHE的CS理論，個人覺得文教主的那本量子多體理論就是很好的參考文獻。

（2） 3-He和標準模型：

樓上已經提到了Volovik大神的書，再次安利一下，很值得一看！近十年來的很多興風作浪的新穎的拓撲物質的概念，人家Volovik大神早就在3-He中玩膩了。。。。。。

（3） 4-He與宇宙弦（Cosmic string）：

這裡應該指的是4-He超流相變中的Kibble-Zurek（KZ）機制。KZ機制是用來描述相變過程中的拓撲缺陷的產生機制的。在宇宙早期的快速膨脹過程中，局部的熱力學漲落會形成宇宙弦這樣的拓撲缺陷。而Zurek大師則把這一想法應用到了超流相變（看起來似乎超直接的，畢竟KT相變就是用vortex描述的好不好。。。）的非平衡態淬火過程中，然後發了nature正刊《Cosmological experiments in superfluid helium?》。

其實我第一次見宇宙弦這個嚇人的名字，則是在外爾半金屬（WSM）的理論中。我們知道，WSM的Weyl point超級穩定，一般的辦法是將其毀滅從而打開能隙的。但是在加入相互作用之後，兩個手性相反的Weyl point之間可以形成電荷密度波（CDW），在自發破壞平移不變性的同時，破壞體系手征對稱性而將Weyl point湮滅掉。在這一過程中，CDW的序參量是可以在序參量空間里形成Dislocation這樣的拓撲缺陷的。比如，在實空間里，序參量的相位是位置的函數，同時相位形成vortex這樣的位形，就形成了拓撲缺陷。。。而這裡的CDW Dislocation就是所謂的「axion string（軸子弦）」，不是鹹的豬肘子。。。為什麼是軸子？如果我們計算該體系的電磁響應的話，我們發現，CDW序參量的相位貢獻會因為手征反常和電磁場耦合在一起，形成一個軸子的有效作用量，大概長成這個樣子：

$heta Ecdot B$

其中 $heta$ 就是CDW的相位了。這個東西有什麼用呢？如果對哈密頓量做個對角化，我們會發現每根axion string都帶著一根貫通能隙的chiral mode，灌個水神馬的總是可以說這東西可以做無損耗的輸運是吧。。。參考文獻是：https://arxiv.org/pdf/1207.5234.pdf

（4）超導體與QED3：

不懂QED3，更不知道超導體和這個東東有什麼關係。。。但是！超導體們和拓撲序還有Chern Simons有著很密切的關係:

（a）首先，有太多的太多的關於拓撲序的理論技術都是在研究高溫超導時折騰出來的，而且有太多太多的做拓撲序的專家都是從高溫超導過來的。

（b）不說高溫超導，常規的p+ip超導體與非阿貝爾的5/2 FQHE就是親兄弟。詳情可見這篇經典文章：https://arxiv.org/abs/cond-mat/9906453

（c）最後，連最普通的s-wave超導體都不甘示弱。。。安利這篇04年的神文章，名字叫《Superconductors are topologically ordered》（https://arxiv.org/abs/cond-mat/0404327）, 中文名叫《超導體都是拓撲序》！是不是看名字就覺得炸（min）裂（ke）。。。但是，此文的作者還真是業內的專家。大概說的是，如果s-wave超導體有動態的U（1）規範場（電磁場）時，（或者叫做proliferate 2 $pi$ -flux，還有個更fancy的名字叫gauging Z2 parity），那麼這個體系實際上就是傳說中的Z2拓撲序，可以用K-matrix是 $2sigma_x$ 的Chern Simons（或者叫BF理論）來描述。。。在拓撲意義上，這和其他的Z2拓撲序，比如著名的toric code，都是一模一樣的東西：有基態簡併，更有一模一樣的准粒子激發之間的mutual semion統計。。。關於不同時空維數下不同配對的超導體到底屬於拓撲序還是別的什麼，文教主在physics stack exchange有個詳細的列表，這裡是傳送門：https://physics.stackexchange.com/a/74821

於是大家經常感慨：研究了這麼長時間的拓撲序才發現，原來 Onnes老先生早在100年前就已經把拓撲序找到了啊。。。。。。

驀然回首，燈火闌珊。

在量子磁性問題中，我們可以把自旋算符寫成Abrikosov fermion或Schwinger boson，這些費米子/玻色子可以看成分數化的spinon。

對於Abrikosov fermion，我們發現其有一個局域非阿貝爾規範變換保持自旋算符不變（自旋算符是可測量量），這意味著自旋算符可以用費米場耦合非阿貝爾規範場來描述。

對於Schwinger boson，其耦合的規範場是U(1)的阿貝爾規範場

QHE: 它的effective action就是Chern-Simons theory。具體見X. L. Qi 那篇一千多引用率的pr.b (好像叫time -reversal invariant topological field theory什麼的。。。）

3He和Standard model: 在3He-A裡面可以構造出類似於標準模型的規範對稱（不過不是SU(3)xSU(2)xU(1)）。具體見Volovik的 universe in a helium droplet。

4-He和cosmic string: 同樣可以看看volovik那本書。