掃雷遊戲中，第一次點開的區域面積的期望是多少？

01-08

雷區的雷數和大小和高級一樣，第一次點擊任何一個1x1的區域的幾率是相等的。

作為掃雷的多年忠實愛好者試著來回答一下這個問題，權當拋磚引玉。

果殼上有一篇文章探討過這個問題，不過這是建立在舊版掃雷（第一步只保證不是雷，不保證是空心區域）上的。掃雷第一步，先戳哪裡最高效？ | 科學人 | 果殼網科技有意思

其中中級和高級的各位置具體期望圖如下：

Win 7系統開始採用新版掃雷（第一步保證是空心區域），新版掃雷的第一步點開期望面積應該是遠高於上圖的。假設其他變數均一致，則唯一的差別就是少了第一步點開非空心區域（面積為1）的可能性。設原版第一步點開空心區域的概率為P，舊版期望點開面積為A1，新版期望點開面積為A2，則有 P * A2 + (1 - P) * 1 = A1。

文中同時還給出了在原版掃雷下第一步點開空心區域的期望值的表格如下：

以高級為例，帶入算出第一步點角的期望點開面積約為13（取A1為6.5），點邊的期望點開面積約為18（取A1為6.5），點中心的期望點開面積約為27（取A1為5）。從實際遊戲體驗出發，應該是和上述數字大致相符的。

解析解估計很難求，來一發暴力的吧

30*16， 99個地雷，第一次一定不踩雷

如果點開的格子周圍沒有任何雷，則依次點開它周圍的所有沒點過的方格（可以用深搜做）。

用matlab模擬了100W次，結果：

均值：6.5631

標準差：14.9564

面積是1的概率：0.8187

在不是1的情況下，均值：31.6876

在不是1的情況下，標準差：21.5160

圖：

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這個答案掃雷遊戲中，第一次點開的區域面積的期望是多少？ - 知乎

給出了一些數值，我們來驗證一下。

首先，它指出了面積不是1的概率，點角是0.49846，點邊是0.31251，點中間是0.15449。

那麼既然點到角的概率是4/480，點到邊是84/480，點到中間是392/480，則總的點開面積不是1 的概率為0.185，面積是1的概率為0.815，跟我的測試結果接近。

從圖上還可以看出，各個點點出的安全區的大小在3到6.5之間，平均應該說接近於5。這個數值比我測出來的就要小得多了。即使考慮到他的「安全區」的定義可能不包括最開始的那個點，那麼面積也只是接近6，比我的測試結果（超過6.5）還是差了不少。

那麼有可能是我的程序有錯，當然也有可能是我和他至少有一個人臉黑。

感謝雷友的指正。

掃雷圖總面積是30*16＝480，其中99個雷。你所說的一開一片指的是op（openings），每張圖平均約有14個op和159個3bv。所以你打開的第一個op的期望面積不精確計算就是（480-99-159）/14≈15.86格的面積，雖然只是估計一下，也差不了哪兒去吧。請注意，op面積包含空白無數字區域以及其邊緣的一圈數字（op打開的同時這些數字也會打開），如果你只讓我計算空白區域，那已經脫離了掃雷對op的定義，我無能為力。

當然了在正統掃雷中，大多數時候第一次點擊只開一個數字，第一次點擊打開op的概率只有20%左右，其中點角概率最大但打開的op面積平均最小，點中腹區域概率最小但op面積平均最大，點四邊的概率和op面積都居中。

純粹的經驗計算……

最後說明一點，win7掃雷（或其他類似規則掃雷）開局必開op，不能作為參考依據（你可以每次都點中間開局獲得儘可能大的op），以及開局必開op不符合真正的掃雷遊戲準則。