重整化中的不動點該如何理解？與相變中的臨界點是一回事嗎？臨界點處的尺度不變性與重整化有關嗎？

01-08

謝邀。

我覺得問題本身已經有很多概念上的錯誤，所以我儘可能講清楚，至於能否回答題主的問題??隨緣。

相變中的臨界點（critical point）就是相變的參數。臨界點具尺度不變性，所以Kadanoff和其他物理學家才用粗粒化處理（coarse-graining）和重整化群（renormalization group）。重整化（renormalization）和重整化群是不同的，但最後都要把系統模型中有關的項留下，無關的項丟掉。

重整化群的不動點有三種：穩定不動點（stable fixed point）、不穩定不動點（unstable fixed point）及臨界不動點（critical fixed point）。粗粒化處理若干點後，我們找到數點穩定不動點，這些都各代表一個相（phase）；臨界不動點是一個在某一參數的gradient是負數的不動點，這參數是引起相變的參數，這不動點就和相變極大關係。不穩定不動點沒有什麼物理意義。

樓上已經有人回答過了，偶打算從相變的角度再簡單敘述一下~

早年對於（連續）相變理論的處理基本上是基於平均場的框架，比如Landau在1930年代提出的二級相變理論（儘管隨後1940年代Lifshtiz將對稱性用群論的語言予以重新考慮），但是後來隨著實驗越來越精確，人們逐漸發現，在相變點附近，由平均場理論所預言的臨界指數與實驗存在明顯偏差，然而許多不同的體系（比如鐵磁相變和氣液相變）的臨界指數卻又相同，很明顯這裡面有一種universality，並且不同的臨界指數之間還有一定的關係（稱為標度關係/超標度關係），於是促使人們思考其中的原因。當時通過實驗上的比較，人們發現，如果將自由能中的singularity部分寫成Darboux函數類的形式，即帶有奇異性的power function與一個well-behavored analytic function乘積的形式，結果就與實驗對應的很好，但是當時人們並不知道這種寫法的物理上的原因。實際上，現在知道，冪函數是scalable，這暗示在相變點體系具有self-similar的特性，也就是當你改變體系尺度的時候，體系物理量（即函數形式）不會發生變化，只會乘上某個scaling factor，這種函數稱為Euler homogeneous function，所以這種在臨界點附近所體現出來的標度特點一般被稱為scaling ansatz或者是homogenity hypothesis，當然，如果你locally做scaling transformation，即尺度變換是空間位置的函數（是某種scalar field），則對應於conformal transformation。

真正意識到本質的是KG Wilson，他利用QFT中的重整化技巧解決了這一問題，但他早期所採用的4-ε expansion的技術不能算出高階微擾，後來的突破來自於Parisi，他指出了在QFT中的Callan-Symanzik方程本質上是一種滿足scaling transformation的generalized Euler differential equation（即對應於廣義的歐拉齊次函數），最終的計算由Brezin和Zinn-Justin完成（Wilson"s theory of critical phenomena and Callan-Symanzik equations in 4-epsilon dimension". Physical Review D8 (1973) 434），這是二人的成名作，而此時體系恰好對應於不動點，即此時具有scaling invariance，即臨界點，其實也可以在更簡單的 $phi ^{4}$ 標量場論中也容易看出，如果對參數標度變換，也就是相當於做迭代，體系最終「不動」的點恰好對應於臨界點。

這個我要強行答！

當年作為個學數學的要做相變的問題，實在是=。=

直接抄當年別人給我的回信好了。。。

你知道了數學上的不動點就是放大/縮小尺度的時候保持不變的點。另一方面，物理上的critical point，它相當於兩個相的交點，給一點擾動（比如溫度略高或略低），就可以把整個系統從一個相驅動到另一個相。因為整體一起驅動，所以相干長度correlation length是無窮大的——所有實際的尺度（有限值）和它相比都小了。這樣你放大縮小尺度（scale transform）對於關聯長度無窮的臨界點是無關緊要的(scale invariance)，這就exactly是不動點的數學意義。注意只有unstable fixed points才代表相變點，因為你要從一個相很小的微擾變到另一個相，是不穩定的，如果又變回同一個相，stable fixed point，你應該也想到，那就代表穩定相了。

其實如果有例子會好理解很多。比如理想鐵磁是所有的自旋並排，和理想的順磁，全部random排列對比鮮明。然而實際的鐵磁，自旋排列整齊只是在一個小小的磁疇（domain）里，domain之間的自旋排列不整齊。如果你縮小尺度(zoom out)，把每個domain「看成」一個自旋，那麼系統就成了random 排列，然而如過你zoom in，看單個自旋，又是整齊排列的，這就變化了，不是不動點。在不動點，你放大或者縮小，看不出放大或者縮小之後的區別，就是臨界點了。

一、重整化的不動點就是 RG 變換下不變的點。。和常微分方程裡面的不動點本質上是一個意思，也需要根據穩定性對不動點分類。特別的，重整化群理論強行在不動點的鄰域線性化，也即 $R(m{K})=R(m{K^{*}}+deltam{K})=m{K^{*}}+Ldeltam{K}+mathcal{O}(deltam{K}^{2})$ , 其中 $m{K}$ 是哈密頓中的耦合參數， $L$ 是線性變換 $L_{alphaeta}=left.dfrac{(partial R)_{alpha}}{partial K_{eta}} ight|_{m{K}=m{K^{*}}}$ 。物理學家強行假設這個 $L$ 的本徵矢 $m{v}_{alpha}$ 恰好完備（或者說重整化群理論只對滿足這個條件的成立），使得可以作為 $deltam{K}$ 的基矢，於是 $deltam{K}=sum_{alpha}delta K_{alpha}lambda_{alpha}m{v}_{alpha}$ . 很顯然，對於 $m{v}_{alpha}$ 方向多次 RG 變換後是靠近還是遠離不動點，是根據該本徵矢對應的本徵值 $lambda_{alpha}$ 大於小於等於 1 （分別叫相關、無關、邊緣本徵值）來決定的。於是這些不動點可以分類為：

全部本徵值小於一（無關本徵值）的不動點稱為穩定不動點。
其餘的叫不穩定不動點。

二、我們再來看相變的臨界點。理論和實驗都告訴我們，臨界點附近的關聯長度趨於無窮。而對於臨界點附近的點，它是個有限大的數。當長度標度由 $a$ 變大為 $La$ 時（ $||L||>1$ ），關聯長度就縮小為原來的 1/L，即 $[xi(m{K$ 。特別地，對於關聯長度無窮的臨界點 $m{K}_{C}$ ，我們有 $R(m{K}_{C})=m{K}_{C}$ 。這告訴我們：相變的臨界點是 RG 變換的不動點。更精細地，由於臨界點附近 RG 變換下關聯長度會減小，等價於體系的狀態距離臨界狀態越來越遠，對比與上面關於不動點的分類，我們得到：臨界點 $m{K}_{C}$ 是 RG 變換的不穩定不動點。

三、至於自由能的標度律（注意這是個假設） $f(lambda^{a}t,lambda^{b}h)=lambda f(t,h)$ 在這裡扮演的角色，類似於一種橋樑，讓你能夠通過對於不動點處線性化 RG 變換，來算出各種指數（標度律本身並不能給出這些冪指數具體的值，只能找出它們與標度的關係）。以二參數 $m{K}=(t,h)$ 為例，我們有

$a=dfrac{lnlambda_{t}^{*}}{dln L},quad b=dfrac{lnlambda_{h}^{*}}{dln L}$ ，

這裡的 $L$ 是新標度對舊標度的比值。於是問題化歸為求 RG 變換的那些本徵值。