什麼是particle-hole symmetry?

01-08

哈密頓量中所有產生算符（particle）換成湮滅算符（hole），湮滅算符換成產生算符，如果哈密頓量保持不變，就有particle-hole對稱性

化學勢項會破壞這個對稱性，因為費米子的產生湮滅算符交換位置會多出一個負號

@苗艦艦的答案在化學勢為0時是正確的。在一般情況下，我們要求的其實是配分函數不變：

$Z= ext{Tr}e^{-eta(H-mu N)}$

這裡有一個常見的術語混用： $H$ 中的項對應的不是化學勢，而是能量。真正的化學勢只出現在巨正則系綜的配分函數里。而配分函數只依賴於 $H-mu N$ ，當我們同步改變系統能量和化學勢時，只要兩者改變大小相同，系統就可以永遠具有particle-hole symmetry。這在物理上相當於同時移動能譜和費米能級（零溫下），顯然不會造成可觀測效應。

總之，particle-hole symmetry指的是交換粒子和空穴的地位，系統的物理不會改變。這不僅是哈密頓量的性質，實際上是配分函數的性質。

這個東西很好理解，因為它很容易以科普乃至科幻般具有親和力的語言來加以解釋，

學術（科普）解釋：

以下是解釋：

所謂particle（粒子）-hole（空穴）對稱性源於QFT（量子場論）中的電荷共扼對稱性（charge conjugation symmetry），這種對稱性要求一個物理系統在其中的粒子的電性完全取反（比如把電子換成正電子，質子換成反質子）之後，動力學規律（性質）完全不變。這種觀念遷移到凝聚態中，電子的角色還是固體中的電子，而正電子就是固體中的空穴，所以就是要求凝聚態系統的物理性質對電子描述或是空穴描述是一樣的，電子與空穴服從完全一樣的物理規律。（並不是所有的系統都有這性質，而且人們發現這個性質可以為某些凝聚態拓撲非平庸提供保障）。

科幻（玄幻）解釋：這個世界由你和你在另一個世界的影子組成，你們彼此相對步調一致，卻永遠不相見，見面的那天即是世界的終結