不同種類的棋，為何有的棋子單位放在線上，有的放在格內，這背後的思維抽象有何不同？
圍棋中國象棋的棋子都放置在棋盤縱橫連接線的交匯點上，而國際象棋日本將棋卻放在劃分出的區格內。古代棋的發明可以理解為對軍事活動的抽象，那麼棋盤對應戰場地圖，棋子對應戰略軍事單位。為何前者採用的是（路網）交通圖，後者採用的是行政區圖？這種數學拓撲結構得不同背後反映出古人思維抽象的哪些不同？
謝邀。數學老師被氣死的早，不懂什麼是拓撲。不過從對軍事行動模擬的角度來講，小眾的桌面兵棋或許可以提供一種解釋。【我個人覺得放在格中和線上沒什麼本質區別，但是第一次被邀了還是水一水】
關於桌面兵棋是什麼：
什麼是兵棋推演？ - 軍事兵棋推演是桌游的一種么？各國使用的推演規則相同么？ - 第二次世界大戰有什麼兵棋推演類遊戲介紹？ - 遊戲
桌面兵棋里地圖分為幾種，最常見就像是國際象棋，將整張地圖用均等大小的六邊形（很少很少有正方形的）填滿。比如這樣：
整個太平洋，從珍珠港到日本本土全部用等大的六角形格子分割出來。這樣做的好處是單位在地圖上的移動可以得到量化，並且方便範圍與距離的測量。也就是說每個單位走到的位置是相對較精確的。【有些大佬拋棄六角格用CAD進行測距及移動，精確度更高】
而走在交匯線上，我能想到的是兩種類型的桌面兵棋地圖，第一種是區域移動：
紅龍新月
【介紹帖：【兵棋開箱】紅龍系列】這是典型的區域移動桌面兵棋。與之前擁有大量單位和恨不得精確到每艘船的遊戲規模相比，區域移動兵棋的單位較少，也是跟本作現代戰爭題材的射距和戰略作戰能力有關。強調的不再是單個作戰單位而是更宏觀的一種體驗。【這棋我沒推過我在胡扯】
另一個例子是點線狀鏈接的地圖：
說了這麼多和象棋圍棋無關的東西，該回答問題了。玩了很長時間的兵棋，從經典遊戲設計里是能體會出作者「想」讓玩家玩出什麼的。我的猜測是【猜測，重要的事說兩遍】，國際象棋和將棋走在格子內部，可能是當時設計者為了體現一場戰役的戰鬥。其中不同的棋子就代表戰鬥中不同的兵種。而戰役，或者大戰術級的戰鬥是需要嚴謹的測距和移動規範的。所以國際象棋和將棋的行子是按照方形行走。
而圍棋，就像是上面的體驗大戰略的區域或點線地圖兵棋，追求的不是一兵一卒之間的戰鬥，而是正常戰爭博弈的走向。所以地圖上差那麼個幾十公里貌似也不那麼重要了【或許？】。而在進一步的簡化下，沿照線行子的特性被保留了下來。這也是為什麼圍棋中沒有不同棋子類別的原因吧……？
至於中國象棋……我只能說他是走線的對戰役的模擬。有地形（楚河漢界），有不同棋子（兵種），應該還是對戰役的模擬。而沿著線走的原因我再往兵棋上生搬硬套一下：
雖說這個例子並不好，但我想說的是即使古代沒有履帶裝甲車，靠兩條腿沿照道路移動也是戰術機動中很重要的一部分。中國象棋中沿照線行走很可能是對道路的模擬。
好吧我實在編不下去了，但是希望上面「逆推」帶來的思考能有幫助。大概就是路和地的區別吧
中國發明的圍棋象棋棋子放在點上。外國的棋類基本放在格子里。
個人認為主要原因是放在點上可以節約棋盤製作成本，放在點上19*19就夠了。放在格子里要20*20。
有沒有可能：沿線移動強調單位機動性，占格強調區域控制～
圖 和 對偶圖？
我住在上海浦東，上月出差要去杭州濱江，首先從家到上海虹橋火車站路上要花1.5小時，然後，從上海到杭州高鐵（算上等車）要花1.5小時，最後，從杭州城站到目的地地鐵+公交大約1小時。
在具體地圖上按比例尺顯示也許非常繁瑣，但在自己內在的認知地圖上這三段路程基本卻是差不多的，基本相當於棋盤上三格的距離。而且，按這個思路，你假如去北京國貿出差，實際給你的距離感也許比去浙江富陽出差還要短。而若是跨境的話，上海直飛舊金山相比北京火車到拉薩還近不少。這個問題是上周偶然間發現城市地圖與國家政區圖之間明顯的不同而想到的。城市地圖其實更多的是路網圖，地圖上的主體是道路，和道路間的縱橫關係，區塊（街區）從屬於路網。而國家政區圖的主體卻是區塊（省區），和區塊間的方位關係，路網從屬於區塊。這背後的思維抽象有著根本的不同。（BTW，可視化領域著名的倫敦地鐵圖就是對路網關係的進一步簡化）
軍事領域，農村包圍城市還是城市輻射農村，一直是戰略上最根本區別之一。前者的思維模式是塊狀的，即以區塊為單位；後者則是網狀的，即以網路節點為單位。更著名的是海權陸權之爭。中國的萬里長城實行的是一種區塊防禦，歐洲傳統的封建制也是建立在土地區塊（與後來基於城鎮工商業的資產階級與市民階層形成鮮明對比）；而歷史上著名的「秦直道」，「條條大路通羅馬」，在古典陸權時代則是帝國形成的前提，荷蘭英國等海洋國家通過在全球壟斷海權而開創黃金時代更是大家耳熟能詳。
總體上，塊狀思維偏愛整體，網狀思維強調重點。但偉大的軍事家往往能跳出盒子思考。比如毛澤東領導下的我軍在日軍網狀的佔領區開闢根據地，用好了每一寸土地的軍事戰略縱深；麥克阿瑟為首的美軍在太平洋塊狀的島嶼群中使用蛙跳戰術找關鍵節點，最大限度上節約並避免了優勢兵力分散。有意思的是而後來兩者戲劇性地在朝鮮戰場相遇，一個用的是看家的迂迴穿插，一個使的是拿手的蛙跳登陸，一個使慣了土炮洋槍分割包圍，一個用膩了海空優勢步步為營，最終三八線停火。
回到棋盤上，圍棋象棋棋盤上空間寬廣空檔很大，而國象將棋則分布緊湊空檔很小。個人認為，可能這既有戰場地形的不同，又有動員人數的區別。此外，古代戰場上指揮官喊聲大小能傳遞的距離是有限的，所以統一指揮的有效範圍也是有限的，戰前練兵（提高NPC的AI）和布陣接敵（自動化放連招）在戰場正面軍隊戰力發揮上起到的作用，要遠比謀略要大。野戰條件下（相對於攻城戰），指揮官兵法謀略的作用和軍隊訓練戰鬥力之間不是替代的關係。
棋盤上較量的是純粹的謀略，軍隊戰鬥力等都是無關變數需要在實驗室環境下控制掉以增加信度，但過分的控制會造成失真，降低謀略的效度。信度效度綜合最高的棋類其生命力最旺盛，比如三大棋。
如今雖早已過了古代金戈鐵馬的年代，但古人對棋類設計背後的思維抽象對於今天環境信息更複雜，人的思維要求更高的各種界面、決策工具的設計模擬，會有持久的借鑒意義。
本文不是回答，只是把問題提出的背景和思考做一個整理。以後視情況補充。
另外，再次手動感謝@Fangzhou Liu 如此專業的回答，乾貨滿滿，也讓我對兵棋推演有了更深入的認識了解。首先要明確，垂直的線和正方形格在遊戲性上是等價的。所以起源於中國的象棋、圍棋與西洋棋等西方棋類的點、格放置位置差別是源於東西方思維方式的差別。 中國人認識到了城市的興起不僅和自身地域條件有關，更重要的是交通是否發達。河水改道，道路廢建，很多城市就會因此興起、荒廢。地域位置接近但交通無法達到，那就不能算近。所以象棋、圍棋、五子棋等皆置於線段交匯之點上。（大概以前的地圖也有幾縱幾橫一說？）國際象棋是由印度人、中亞人和歐洲人創造和發展的，古印度人可能比較固步自封，看重地塊的歸屬。所以棋子放在格子里表示這塊地是我的。 另外可能的原因是棋類遊戲的受眾，西方下層民眾不如中國下層民眾玩的多。而廣大底層民眾只能用石子做棋、用棍子在土地上劃線做棋盤，由於棋盤形狀的不規則，格子看起來很不直觀，容易誤導（這倆棋是不是一條線？是不是在對角線上更難判斷），放在線上一目了然。所以大眾的傳播也要求中國的祺是放在線上的。 很有意思的是，這種東西方思維方式的差異延續至今。日本光榮與瑞典p社可以說是策略遊戲兩大巨擘。光榮出的近幾代遊戲越來越注重城市之間的道路。三國志12、三國志13、信長之野望14都是軍隊只能走在城市之間的道路上，不能走其他廣闊的地兒。而p社四萌是寧可格子不規則也要用地格把全地圖填充滿，但其實相鄰格子之間是有隱藏的路的，你行軍時還是只能走這些規定的路。遊戲性上是等價的，只是光榮選擇把地區淡化，突出城市和城市之間的道路；p社選擇把城市和道路淡化，突出區域的控制。（光榮遊戲的大地圖上一般沒有區域分界線，只是城市和道路，p社遊戲的大地圖上沒有道路，只有區域分界線）這種思維方式歸根結底究竟是哪方面差異我還概括不出來。不過我個人是十分喜歡思考這種現象差異背後的思維方式差異根源的問題的。
很有意思，從軍事角度來看，橫縱兩條線代表經度緯度，用於定位，戰場上報告位置的時候，也是測繪出東經，北緯這樣來定位，所以放在交叉線上比較符合軍事思維邏輯國際象棋為什麼放在格子里，猜測是不是歐洲分封制有關係，這一塊是我的，那一塊是你的？純屬瞎猜
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