碎花瓶理論是真實的嗎？

01-08

「丹麥的物理學家雅各布·博爾卻從碎花瓶中發現了一個規律：打碎後的物體的碎片按重量的數量級分類，不同的重量級間表現為統一的倍數關係。例如，打碎的花瓶最大的碎片與次大的碎片間，重量比是16∶1，次大的與第三大的碎片間的重量比也是16∶1。」這種說法可信嗎？是否真的存在這樣一個定律？如果存在原理又是什麼呢？

15年7月18日更新，根據評論和，以及 @范花花在其回答對我的回答的「攻擊」，有必要做一些補充和回應：

1. 關於對待謠言的態度

一個謠言或者錯誤的傳說，很有可能是根據一些在一定條件一定語境下確定的事實，經過大眾傳播和修改之後，成為了不靠譜的謠言——我相信這個「碎花瓶理論」就是一例。

按照這個問題最初的「理論」說法：花瓶碎片最大、次大、第三大的比值為256:16:1，這顯然是非常荒誕的，稍有常識的人都知道這種武斷的結論顯然不靠譜。但是，一個表觀上非常荒誕的結論並沒有必要阻止我們去探尋其背後可能正確的出發點，這也是我在這裡作出回答的初衷。畢竟，去查找雅各布·博爾此人到底是否真實存在並不能給我們增長多少有益的知識；而想一想這個「謠言」的起因是什麼，這個「謠言」為什麼會出現256:16:1這樣奇怪的說法，或許更有意義。

2. 關於對這個問題的理解

雖然256:16:1這樣的比例並不靠譜，但這裡所反映出的「平方」性質卻使得這個問題有意思了起來。從統計意義上說，碎片的大小滿足某一種與「平方」有關的分布形式（即下文所說的冪律）是完全可能的；同時也並不是一件平庸的事情，該分布的形成機理可能有很多有意思的地方。

所以，我覺得這個謠言中「平方」的出現，並不是關於最大、次大和第三大的碎片的重量，而是質量與碎片數量的關係。

如果我把「碎花瓶理論」的說法修改一下：

打碎的話瓶有一塊最大的碎片，它的質量是m，那麼會大致有4塊稍小一點的，質量差不多是m/2；16塊更小的，質量差不多是m/4，以此類推。這種說法可信嗎？

相信這樣一個問題會顯得更合理一些，也會有更多人去認真思考這種說法是否真的正確。

3. 關於條件概率

@范花花的回答中指出，碎片大小的分布應該依賴於到底碎了幾塊。這是一個很有意思的說法。對此，我的回答是，如果花瓶的製備方法都一致，砸碎花瓶的實驗方式也得到穩定的控制，那麼碎片大小的分布應該是唯一確定的，即使每次砸花瓶後碎片的個數是隨機的。

對於 @范花花提出的極端例子，比如「砸不碎」的防彈玻璃花瓶，那顯然正常的實驗手段產生的衝擊力不在該花瓶的內應力分布範圍內，所以顯然當花瓶本身「走極端時」，「砸」這個實驗手段也要走走極端。同時需要強調的是，冪律的存在是根源於非晶材料內部的應力大小分布，而應力的絕對數值多大並不是問題的關鍵所在。

4. 關於冪律分布的詮釋

另外， @范花花的回答中提到，如果碎片大小滿足冪律分布，花瓶應該碎成粉末。他覺得這是非常不符合常識的。事實上，第一，「碎成粉末」這種說法就有問題，冪律分布的特殊性就在於大碎片出現的概率較之常見的指數分布或高斯分布要多的多。第二，冪律分布表面小碎片的數目要多於大碎片的數目，越小的越多，這是符合生活常識的，碎片往往會有很多渣渣。第三，如正式的回答中提到，冪律的分布需要截斷，在特別小的碎片尺度上，冪律分布不成立。

以下是原回答：

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先直接給出我個人的觀點：這種說法是有合理的科學依據的，但是要在生活中觀察到卻可能相當困難。

看了各位的回答，有的知友完全沒理解問題的意思，比如 @Robert Lu以及 @Skillness等

還有的知友表示這違反直覺和生活經驗，單純地提出質疑，比如 @單站人以及 @路德維希聖等

當然題目的意思也說的不清楚，甚至是錯的。

唯一靠譜的回答是關於冪律（power law）的，但答主 @大漠風光看起來比較忙，就隨手摘了一段百度...

這個題目的意思其實是：

碎花瓶碎片大小的分布是不是滿足冪律的，為什麼？

所謂冪律，並不是說最大的碎片一定是第二大的碎片的多少倍，而是說如果無數次打碎花瓶，碎片的大小的概率分布滿足這樣一個式子：

$pleft( V ight) sim V^{-alpha }$

其中 $V$ 是碎片的大小（體積或者質量）。即越大的碎片越少。

正如 @大漠風光的答案，類似這樣的冪律是很常見的自然現象。當然常見並不能表明砸碎花瓶就一定要滿足冪律。

需要指出的是，這樣一個分布是統計意義上的，不可能隨手砸一個花瓶就能驗證或證偽這個說法——一般人的生活經驗是偶然砸碎一個瓶子或飯碗，觀察到的碎片的數目遠遠不夠多，所以非土豪不要輕易做實驗。

關於這樣的冪律重要的結論是：比如找到大小為 $x$ 的碎片的概率為 $p(x)$ ，那麼找到大小為 $2x$ 的碎片的概率為 $frac{p(x)}{2^{alpha } }$ 。（題主所表述的256:16:1就大概是這個意思，此時 $alpha =2$ ）

冪律是一類非常獨特的分布，比如它衰減的速度遠遠得慢於自然界同樣常見的正態分布 $p(x)sim exp(-x^{2} )$ ，表明找到大塊的碎片的概率其實是挺高的。

更奇特的是，如果 $alpha =2$ ，那麼這個分布的期望是求不出的：

$int_{0}^{infty }x pleft( x ight) dx=int_{0}^{infty } frac{dx}{x}$

該積分在兩端都發散了，這是非常荒誕的。可見，冪律的成立是有一定的尺度範圍的，用物理上常用的做法來說，就是需要截斷。

做了足夠多關於冪律的介紹，最後回到題目。

花瓶破碎之後的碎片到底是否真的滿足冪律？

不好說，但我覺得很有可能是正確的，但是也不一定那麼普遍正確。（等於沒說......）

之所以覺得可能是正確的，原因如下：

玻璃、陶瓷等常見的構成花瓶的材料大多是非晶材料，而非金屬等晶體；
一般而言，非晶材料的一個顯著特性就是高硬度、低延展性，即很硬，但易碎；
同時，非晶材料往往處於邊緣穩定（marginally stability）狀態，翻譯成白話文就是說這種材料雖然是穩定的，但稍微破了一點就可能引發大範圍的連續破碎；
這種邊緣的（臨界）的穩定性和玻璃從高溫的玻璃液體形成固體的動力學過程有關，也（可能）和自組織臨界現象有關——冪律被認為是自組織臨界現象的標誌。
玻璃體系內部的應力往往有分形的性質，而分形同樣和冪律有直接的；而材料破碎的區域也往往是內部應力比較強的位置。

這些原因讓我感覺破碎的花瓶滿足冪律分布是一件相當合理的事情。

（只能給出這些非常概念化的討論了，不了解也沒找到容易看懂的實驗研究文獻。）

同時，題主提到的這種說法也很有可能不成立。由於真實的物理體系永遠沒有想像的那麼簡單，花瓶到底破碎成多少、多大的幾塊，還與砸的力度、花瓶形狀、製作花瓶的工藝等很多現實因素相聯繫，這些因素非常可能使得原本應該體現的冪律被掩蓋掉了。

最後來一張圖吧，直觀感受一下碎片和冪律分布：

（圖片來自網路，侵刪）

碎花瓶什麼的明顯是騙局，很簡單，什麼雅各布的查無此人。只見於百度。

我小時候寫作文經常捏造「古希臘哲人」該理論也估計是哪個大俠為了宣揚觀點捏造出來的。

搞個車窗玻璃做的花瓶就足以反駁（碎的時候樣子大家都知道）。給個闢謠傳送門

所謂的雅各布·博爾的碎花瓶理論

我要說的是穿說中的的冪律

關於這樣的冪律重要的結論也是醉了，首先先去查查冪律分布的定義吧，不要看百度哦，百度該詞條下連個定義式都沒有給出。稍微學點概率論的人都懶於吐槽了，感情是碎片越大，出現概率越小，按這個結論，花瓶應該碎成粉末。

至於這個概率題目，應當如何處理。科普一下吧

首先，花瓶摔壞，可能的碎片總數是個隨機數。在不談碎片總數情況下論及碎片大小，就是耍流氓。

比如說，我變態，做了一個鈦合金花瓶，或者防彈玻璃花瓶（不是說要晶體嗎？），基本摔不碎，設體積為100吧，結果p(100)=1,其它都為零，哪門子冪律分布。

所以，只能談論條件概率P(V|n),其中n為碎片數目，取值為1&<=n&< $infty$ 。這個概率是和材質，落體距離，地面硬度，形狀相關的。仍然設0&

$sum_{n=1}^{ infty}int_{1}^{100}p(V|n)dv=1$

在此基礎上在自己慢慢分析吧。

另外，珍愛生命，遠離百度百科。

@瞎來來反對我的結論，再次重申，這是一個條件概率，不考慮碎片總數談分布太不靠譜了，

同樣材質的花瓶，每次摔碎片數目不一樣。

如果是真的，你給我一花瓶我可以隨手將其分出佔總質量15/16的一塊。

當然是騙局。。

摘自百度百科:

實際上,冪律分布廣泛存在於物理學、地球與行星科學、計算機科學、生物學、生態學、人口統計學與社會科學、經濟與金融學等眾多領域中,且表現形式多種多樣. 在自然界與日常生活中,包括地震規模大小的分布 (古登堡2里希特定律) 、月球表面上月坑直徑的分布、行星間碎片大小的分布、太陽耀斑強度的分布、計算機文件大小的分布、戰爭規模的分布、人類語言中單詞頻率的分布、大多數國家姓氏的分布、科學家撰寫的論文數的分布、論文被引用的次數的分布、網頁被點擊次數的分布、書籍及唱片的銷售冊數或張數的分布、每類生物中物種數的分布、甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數的分布等,都是典型的冪律分布。

經驗看來，最大的和次大的差別沒那麼大

先排序，硬分成256:16:1，然後硬說那16是次大的，256是小的

貌似從高中馬克思主義哲學題裡面見過

說下我的一次經歷

某年暑假，我在家做實驗，在轉移一杯溶液時燒杯掉在了地上，啪——摔碎了

我立刻想到那個碎花瓶理論

我把杯壁上的溶液洗去，又用衛生紙擦乾。心想，見證奇蹟的時刻到了

遂拿到天平上去稱

結果第一次稱最大的和次大的，質量比值大約4：1，難道我記錯了？心想

又去百度了一下，是16：1

我開始懷疑

又稱了剩下的幾塊，沒有一組相鄰的質量是16：1的，並且最開始4：1的規律也消失了，2：1、1.5：1的都有

所以呢，碎花瓶理論的真實性（或者說普適性）可見一斑

最大是多大？只有一塊？次大又是多大？

為了告訴你真相，剛摔了一個盤子。並不是1：16

這就是個謠言！就我這種沒讀過書的人都看出來了。根本就不用什麼物理學來論證。假設該說法成立。那就表示該現象在物理、力學上找到支撐。那就更不科學了。因為這本身就不符合*概率學。就好比好多個蘋果一個接一個從樹上掉下來，分別滾到東南西北四個方向。你能保證滾到這四個方向的蘋果比率是1：4：16，

沒有親測玩家？

沒有假設么？這個理論提出來的時候一定做了很多的假設與預定義，在那種條件下這個說法可能是對的，看它有沒有辦法通過實驗證明了

首先，我覺得碎片會與結構有關，如果提前畫好刻紋，結果可想而知。如果是未「動手腳」的花瓶，也許製造過程的一些細節也會產生影響。

其次，與花瓶打碎的方法有關。

如果以上條件都是可控且嚴謹的，那麼通過大量重複實驗得出的結果是相對可靠的。但這僅僅是說明這種實驗條件下的實驗是這個結果。

而對於其他情況是否符合，還要更多實驗數據，其結果我認為會是一個統計學結果，即碎片質量與修正後的數量分布。

然並卵。

打碎後的物體的碎片按重量的數量級分類，不同的重量級間表現為統一的倍數關係

這純粹是心理學問題

你把所有碎片的數量級按1,16,256...........的級別分類當然成立了。

問題是我要是按 1,4,16,64.............的級別也能分類。

按1,2,4,8.................的級別也能分類。

甚至你願按照斐波那契數列分類都行。

怎麼規定所謂的數量級？

沒讀過什麼書，第一次聽說這個理論，但是就生活經驗來看，這理論是不對的。我打碎過很多碗啊盤子啊杯子什麼的，有些碎成兩塊，兩塊幾乎一樣大，碎成三塊的，也沒有其中一塊佔到1/16的比例啊。

第一，要求是傳統燒制的瓷器，現在的瓷器很少有傳統燒制的，而且表面的鍍層對結果有很大影響。(拿玻璃燒杯做實驗的你肯定是在逗我)

第二，先按照質量的數量級分類，比如以g為單位計算的分一類，以mg為單位的是次一類，以此類推，然後按照這個分類進行整體質量比對，在概率分布上大概符合16：1。

呵呵一幫2B不看明白就瞎BB，還特么親測，你咋不上天呢。