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用matlab求矩陣的最大特徵值怎麼求？AHP分析法中，最大特徵值有虛部嗎？是否可以求出所有特徵值找最大的？

01-07

求最大或者前k大特徵值建議使用eigs函數，該函數對於大的稀疏的矩陣會比用eig求出所有特徵值之後再排序要快很多

eigs有很多參數可調以改善性能的，詳細用法參見幫助文檔

該函數的演算法參見文檔末尾tips部分給出的文獻

求出所有特徵值找最大的顯然不是一個 efficient 的方法。數值方法裡面，有個很基本的演算法是專門求 dominant eigenvalue 的—— power method.

Power method 的基本思想非常簡單。假設我們想要求矩陣 $A$ 的最大特徵值（這裡指的是絕對值最大），從任意一個向量 $vec{v}$ 出發，不停地用矩陣 $A$ 作用在 $vec{v}$ 上，得到的向量序列會不斷地收斂到最大特徵值對應的特徵向量上。對應的特徵值也就很容易能求出來。

推導參見wiki：Power iteration

結論就是：假設已經進行了 $k$ 次迭代，我們從 $vec{v}$ 出發了，第一次迭代得到 $vec{v}_1 = A vec{v}$ , 第二次得到 $vec{v}_2= A vec{v}_1$ , 那麼最大特徵值近似地 $lambda =frac{|vec{v}_{k+1}|}{|vec{v}_{k}|}$ 或者 $lambda =frac{(vec{v}_{k+1}, vec{v}_{k})}{(vec{v}_{k},vec{v}_{k})}$ ，後者有個名字叫 Raleigh-Rietz Quotient。

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不過有一種可能，就是我們有兩個互為復共軛的 dominant eigenvalue。我看了下 wiki，似乎沒有寫這種情況？

這種情況下也很簡單。假設我們迭代了 $k$ 次之後，就已經有以下近似：

$vec{v}_k =vec{u}_1 +vec{u}_2$

這裡 $vec{u}_1$ 跟 $vec{u}_2$ 是最大特徵值對應的特徵向量，將 $A$ 作用在這個向量上兩次，就有

$vec{v}_{k+1} = lambda_1 vec{u}_1 + lambda_2 vec{u}_2$

$vec{v}_{k+2} = lambda_1^2 vec{u}_1 + lambda_2^2 vec{u}_2$

$lambda_1$ 跟 $lambda_2$ 是特徵值，因為它們共軛，所以存在 $b$ , $c$ 使得：

$lambda_1^2+blambda_1+c = 0$

$lambda_2^2+blambda_2+c = 0$ ———— $(*)$

$b$ 跟 $c$ 是兩個目前未知的參數，那麼我們就有 $cvec{v}_k+bvec{v}_{k+1}+vec{v}_{k+2} approx (c+blambda_1+lambda_1^2)vec{u}_1+(c+blambda_2+lambda_2^2)vec{u}_2 = 0$

也就是說對向量 $x = left[b; c ight]$ （呃這是一個列向量，按 MatLab 的寫法），成立：

$left[ vec{v}_{k+1}, vec{v}_{k} ight] vec{x} = vec{v}_{k+2}$

把這個線性系統解出來，得到 $b$ 跟 $c$ 的值，然後回到 $(*)$ 就可以解得兩個共軛的 eigenvalue 了。

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本來以前有這個演算法的 MatLab 代碼的，找不到惹= =，不過演算法其實很簡單，加上各種判斷條件，三十行以內。所以就不貼代碼了。

虛部全是0啊

Format long g

最大特徵值的話用乘冪法

對稱矩陣特徵根都在實軸上。

用eig函數求特徵值，求完之後sort一下不就可以找到最大的了么……

我也在查這個問題，目前只找到這個--&>http://blog.pluskid.org/?p=720

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