Maple或Matlab怎麼解不定方程？

01-08

這類方程應該算是不定方程，在給定條件下只有一組解，
下面的Maple代碼怎麼運行不了呢？
或者能用其他相關軟體算出來也行，比如Matlab，R語言等

solve({a^2+b^2+169+sqrt(c-13)-24*a-10*b = 0},{a, b, c}) assuming a&>0, b&>0, c&>0;
solve([1/(cos(a)^2)+1/(sin(a)^2*sin(b)^2*cos(b)^2) = 9, a&>0, a&0, b&


 

我不知道 maple 怎麼算，mathematica 是可以算的。
第一個問題：
Solve[{a^2 + b^2 + 169 + Sqrt[c - 13] - 24 a - 10 b == 0, a &>= 0,

  b &>= 0, c &>= 0}, {a, b, c}]


能得出正確答案
第二個問題：
Solve[{1/(a b (1 - b)) + 1/(1 - a) == 9, a &>= 0, b &>= 0, a &<= 1, 
  b &<= 1}, {a, b}]

也能得出正確答案（你應該能看出這個形式和原問題是什麼關係吧？）
既然你會手算，答案我就不貼了。另外……雖然題主說不是作業題，但是這種湊得很好的題目很難讓人相信不是作業題。

數學問題果斷使用Mathematica。第一個用FindInstance，第二個用Solve。

 

MATLAB 的 Symbolic Math Toolbox 可以通過 solve 用解析方法解代數方程，不過如果條件是不定的，可能不容易快速得到結果。也可以用 vpasolve (我用的R2013a) 來用數值方法解，但沒用過不知道不定條件下如何。其實 MATLAB 最強大的就是數值計算，這類簡單問題可以用數值逼近方法來解決。當然只是一種方法，也許不能得到解析結果，也許運氣不好遇到局部極值啥的，權作參考。
對於這兩題，都可以將變數限定在某個範圍內，設定一個精度，用數值模擬求得最小結果來解。
第二題相對簡單。
clear;

range = [0 : 0.001 : pi / 2];

for a = range

    for b = range

        index_a = find(a == range);

        index_b = find(b == range);

        c(index_a, index_b) = 1 / (cos(a) ^ 2) + ...

            1 / (sin(a) ^ 2 * sin(b) ^ 2 * cos(b) ^ 2) - 9;

    end

end
solution = abs(c);

[y, x] = find(solution == min(min(solution)));

solution_a = range(y);

solution_b = range(x);

solution_nv = c(y, x);

fprintf("a = %8.5f

b = %8.5f

nearest equation value = %8.5f

", ...

    radtodeg(solution_a), radtodeg(solution_b), solution_nv);


得到結果：
a = 54.71747

b = 44.97719

nearest equation value =  0.00001


第二題涉及到三角形三邊關係，某一邊的條件，以及變數範圍的問題，姑且假設三邊均不超過200，在粗糙的精度下運氣好也能得到正確答案：

 
clear;

range_a = [1 : 1 : 200];

range_b = [1 : 1 : 200];

range_c = [13 : 1 : 200];

for a = range_a

    for b = range_b

        for c = range_c

            index_a = find(a == range_a);

            index_b = find(b == range_b);

            index_c = find(c == range_c);

            if index_a + index_b &> index_c || ...

               index_a + index_c &> index_b || ...

               index_b + index_c &> index_a

                d(index_a, index_b, index_c) = a ^ 2 + b ^ 2 + 169 + ...

                    sqrt(c - 13) - 24 * a - 10 * b;

            else

                d(index_a, index_b, index_c) = 10000;

            end

        end

    end

end
solution = abs(d);

[z, y, x] = find(solution == min(min(min(solution))));

solution_a = range_a(z);

solution_b = range_b(y);

solution_c = range_c(x);

solution_nv = d(z, y, x);

fprintf(["a = %8.5f

b = %8.5f

c = %8.5f

"...

         "nearest equation value = %8.5f

"],...

        solution_a, solution_b, solution_c, solution_nv);


得到結果：
a = 12

b = 5

c = 13

nearest equation value =  0


原來恰巧就是直角三角形。

對MATLAB來說第一題太難了點吧...
第二題倒是很方便:
f = @(x)1/(sin(x(1))^2*sin(x(2))^2*cos(x(2))^2)+1/(cos(x(1))^2)-9;

lsqnonlin(f,rand(1,2))


結果:
ans =

    0.9541    0.7863




 

這種還是用Mathematica算比較好，matlab的長處不在這裡

 
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