如何理解 Wannier 函數？

01-08

初學者，在學習 Hubbard 模型的時候碰到了這個函數，書上和維基的解釋感覺都比較蒼白，希望能聽到一些更有物理意義的解釋

我也來拋磚引玉...

首先wannier函數是什麼以及和Bloch函數的關係想必題主已經很清楚了，樓上的答案也很直觀的講到了。

（關於Bose-Hubbard model,先放三張圖...）

Bose-Hubbard Model是可以在光晶格中進行操縱的好例子，我們寫出系統的hamiltonian ：

$hat{H}=int dxhat{Psi}^{dagger}(x)Bigg(-frac{hbar^2}{2m}frac{partial ^2}{partial x^2}+v_l(x)-muBigg)hat{Psi}^{dagger}(x)+frac{1}{2}int dxdx$

很明顯它分成interaction term 和tunneling term . $hat{Psi}^{dagger}(x)Big(hat{Psi}(x)Big)$ 是場產生湮滅算符

首先tunneling term，我們都解過單粒子的周期勢薛定諤方程( $hat{H}_s=-frac{hbar^2}{2m}frac{partial^2}{partial x^2}+V_l(x)$ ),他的解就是Bloch函數 $Phi_q(x)$ （其中q是准動量限制在第一布里淵區）.那麼我們當然可以對Bloch做一個傅里葉變換得到：

$w_i(x)=frac{1}{sqrt{N_i}}sum_qPhi_q(x)e^{-iqx_i}$

其中 $x_i$ 表示格點i,這個求和覆蓋了整個第一布里淵區，以及 $N_l$ 是整個系統格點的數目。那麼很明顯，我們用動量空間里一個site上的Bloch函數可以拓展到實際空間的整個系統上.（一個site的Bloch函數包含了整個系統的信息。）

那麼為什麼我們要在Bose—Hubbard里用wannier函數呢？首先，Wannier函數只是坐標 $x-x_i$ 的函數，此外它是一組很優秀的正交完備基，以及最重要的它在site上是極其局域的。比如下圖這樣，你在基態取三個點，0， $pi/2a,pi/a$ 然後投到實部，可以看到他們在x=0是重合在一起的，然後在其他地方就是有干涉，很明顯加在一起都是0,所以這個大概比較直觀解釋了為什麼wannier有這個好的局域了。

然後我們當然用wannier基表示場算符:

$egin{align} hat{Psi}^{dagger}(x)=sum_iw^*_i(x)hat{b}_i^{dagger} \ hat{Psi}(x)=sum_iw_i(x)hat{b}_i end{align}$

回到non-interacting term $hat{H}_0$

$egin{align} hat{H}_0=int dxhat{Psi}^{dagger}(x)Bigg(-frac{hbar^2}{2m}frac{partial ^2}{partial x^2}+v_l(x)-muBigg)hat{Psi}^{dagger}(x) \ =-sum_{i eq j}J_{i,j}hat{b}^{dagger}_ihat{b}_j-musum_ihat{b}^{dagger}_ihat{b}_i end{align}$