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收斂數學高等數學高等數學大學課程

如何證明有界數列的子數列收斂？

01-08

rt，我剛學高數，這快可以用一分為二法證。求大神仔細講下，別太複雜含糊

題主的問題嚴格的說法是：任意有界數列必存在收斂子列。

這個定理也叫作緻密性定理，是刻畫實數完備性的定理之一。

題主說的利用一分為二法需要一個定理支撐——閉區間套定理。

閉區間套定義：設閉區間列 $left{ [a_n,b_n] ight}$ 滿足

1. $[a_n,b_n]supset [a_{n+1},b_{n+1}],n=1,2,...,3$

2. $lim_{n ightarrow infty }{b_n-a_n} =0$

則稱 $left{ [a_n,b_n] ight}$ 為閉區間套。

閉區間套定理：若 $left{ [a_n,b_n] ight}$ 為閉區間套，則在實數中存在唯一的一點 $xi$ ，使得 $xi in [a_n,b_n],n=1,2,...$

下面利用閉區間套定理證明緻密性定理。

設 $left{ x_n ight}$ 是一個有界數列，不妨設 $a_1leq x_nleq b_1,n=1,2,...$

將區間 $[a_1,b_1]$ 等分為兩個區間 $[a_1,frac{a_1+b_1}{2} ]$ ， $[frac{a_1+b_1}{2},b_1]$

不妨設第一個區間中有 $left{ x_n ight}$ 中無窮多項，從中選出任意一項為 $x_{n_1}$ ，且令 $a_2=a_1,b_2=frac{a_1+b_1}{2}$

將區間 $[a_2,b_2]$ 等分為兩個區間 $[a_2,frac{a_2+b_2}{2} ]$ ， $[frac{a_2+b_2}{2},b_2]$

不妨設第一個區間中有 $left{ x_n ight}$ 中無窮多項，從中選出任意一項為 $x_{n_2}$ ( $n_2>n_1$ )，且令 $a_3=a_2,b_3=frac{a_2+b_2}{2}$

......

重複上述步驟，我們得到一個閉區間列 $left{ [a_k,b_k] ight}$ ，並且顯然它是一個閉區間套。

根據閉區間套定理，存在唯一的一點 $xi$ ，使得 $xi in [a_k,b_k],k=1,2,...$

且有 $|x_{n_k}-xi |leq frac{b_1-a_1}{2^{k+1}} ightarrow 0 (k ightarrow infty)$

（這是因為我們選的 $x_{n_k}$ 在區間 $[a_{k+1},b_{k+1}]$ 中，並且 $xi$ 也在區間 $[a_{k+1},b_{k+1}]$ 中，則上面的不等式便成立了。當 $k ightarrow infty$ 時不等式右邊趨於0，則左邊也趨於0）

則 $lim_{k ightarrow infty }{x_{n_k}} =xi$

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