怎樣判斷一個分布的正態性？

01-08

對於這類問題，我比較同意 Yihui Xie | 謝益輝大神的觀點，引用如下：

根據數據檢驗總體的分布在我看來幾乎沒有什麼用處，不過歷史上已經出現了無數種關於分布的檢驗，例如 Chi-square 檢驗、KS 檢驗、Shapiro 正態性檢驗等等。我覺得檢驗沒有實際用處的原因有二：

一、若拒絕零假設，即數據不服從某種分布，那麼往往會使得下面要做的工作的前提假設不成立——這顯然會很慘；
二、若不拒絕零假設——這幾乎是無用的結論，因為不拒絕這個零假設，不代表能拒絕其它零假設，因此你仍然不知道數據是什麼分布——這顯然更慘；

所以我們要把自己的眼睛捂上，假裝看不見，像數理統計學家那樣，我們假定 X 服從帕累托分布，然後咋地咋地。
…
附 2：還要補充說明一點，關於分布的假設檢驗中，零假設往往是確定的分布，而不是帶有未知參數的籠統的分布，即分布的參數都是確定的值。只有少數幾個關於正態分布的檢驗除外，因為它們有漸近性質。因此，提問時最好不要抽象地問怎麼檢驗樣本是否是廣義極值分布。

(cf. 統計分布的檢驗)

（關於假設檢驗，我的另一個回答：假設檢驗中，為何要避免第一類錯誤，而不避免第二類錯誤？ - 知乎用戶的回答。）

有很多種辦法，以下按個人感覺的常用程度排序，各統計軟體都有內置命令。

1 Kolmogorov-Smirnov檢驗，也叫K-S檢驗，主要是用來檢驗兩個隨機變數分布是否相等，當然也可以用來檢驗正態性。如果待檢驗正態分布均值、方差未知需要做一點修正，一般也可以用統計軟體完成。

相關資料：Kolmogorova€「Smirnov test

2 Jarque-Bera檢驗，針對正態性本身的檢驗，主要是利用Pearson分布族的性質，針對偏度、峰度構造統計量，看兩者和0、3的差距。這一檢驗有很多變種。

相關資料：https://en.wikipedia.org/wiki/Jarque%E2%80%93Bera_test

3 Shapiro-Wilk檢驗，針對正態性本身的檢驗，主要是構造樣本分布的順序統計量，然後和正態分布的對應指標做比較。這一檢驗也很常用。

相關資料：Shapiroa€「Wilk test

4 Anderson-Darling檢驗，主要用來檢驗給定樣本是否來自特定分布，原理是假定隨機變數X分布F已知，那麼F（X）服從均勻分布，以此可以檢驗正態性。

相關資料：Andersona€「Darling test

5 Ryan-Joiner檢驗，這個檢驗的原理我不是很清楚，也沒有找到特別好的資料。文獻顯示它似乎和Shapiro-Wilk檢驗非常接近。

6 Kuiper檢驗，主要用來檢驗給定樣本是否來自特定分布，原理是利用樣本中極值構造統計量，然後和待檢驗分布的尾部做比較。

相關資料：Kuiper"s test

7 QQ圖，其實感覺這個才是最常用的，用眼睛比一比兩條線就好了......

相關資料：QQ圖法檢驗正態分布

估計方法還不止這些，期待補充。自己最常用的一般就是1、2還有7。

可以先在R里畫個qq-plot比較比較，再決定要不要用其他方法。這裡有個教程以及示例代碼：Exploratory Data Analysis: Quantile-Quantile Plots for New Yorka€?s Ozone Pollution Data

不能判斷。只能判斷不是正態分布。

高票說了很多，我再補充個最近學的，附帶我的分析過程~

一，一般參數比較多的話可以在做描述性分析的時候，可以先做直方圖粗略看看是否符合正態性。

二，對有可能符合正態分布的數據做qq圖，還是粗略的分析。

三，對經過前兩步篩選後剩下的參數進行檢驗，檢驗有很多，比如萬能的卡方，shapiro-wilk等高票提及的檢驗，還有shapiro-francia檢驗。不嫌麻煩或者有必須檢驗正態性的參數可以直接第三步。

才疏學淺，大概了解s-f檢驗是s-w檢驗修正版（？）。目前知道R的nortest包有很多正態性檢驗。歡迎指正。