橢圓函數、超幾何函數、貝塞爾函數在物理和工程方面有怎樣的應用？

01-08

1. 貝塞爾函數

線性簡化假設下的聲壓波動方程：

引入波數後就是亥姆霍茲方程：

分離變數得：

柱坐標下的拉普拉斯算符變為：

代入並消去常量得：

發現這就是個貝塞爾方程，其解即貝塞爾函數。

是以圓柱形流場中的徑向聲壓分布為：

Jm/Nm分別是m階第一/二類貝塞爾函數。

工程應用：航空發動機內部雜訊計算

2. 超幾何函數

非牛頓流體的管道流量-壓差關係, F1是阿佩爾超幾何函數，2F1是超幾何函數。

3. 橢圓函數

描述水面行波的KdV方程：

解析解：

其中cn就是個雅可比橢圓函數。

手機打字，簡單舉幾個例子。可以說，只要出現二階偏微分方程，就容易出現（各種幾何下）自伴運算元的本徵值問題，也就容易出現這些貨色。

貝塞爾函數是柱面波的常用基。比如，盤狀星系的引力勢常用貝塞爾函數展開。進一步地，盤狀星系乃至很多盤狀結構的討論中，都要深度使用它們。

二維圓孔的傅立葉變換是艾里函數，它其實是三分之一階貝塞爾函數。

特殊地，球貝塞爾函數是平面波按球面波展開的係數，所以量子力學裡按分波法處理散射時會用上它。

橢圓函數及其反函數相關的，我知道的是這個：克爾黑洞附近的光子軌跡。順便一說，引入橢圓函數/積分後，這個問題是有解析解的，相關的工作人員包括了 Kip Throne。

超幾何函數是個流氓，可以變身為許多許多特殊函數… 兩個奇點合流之後的合流超幾何函數，解過氫原子的懂。

問題來了。題主不像個對此完全無知的人；能說出這些名詞的人，一般是學過的。難道老師講它們的時候完全不講應用？不過，若是想藉此消遣，推薦題主想一下勒讓德函數遞推關係與角動量之間的聯繫。

說個不常見的

Fresnel 積分 $S(x)=int_0^xsin(t^2),mathrm{d}t$ 、 $C(x)=int_0^xcos(t^2),mathrm{d}t$

被用於畫 ios7 的圖標……

說個簡單的，手機看書軟體，那個翻頁效果。

只要是涉及到圓柱形的物體，比如樓上大神說的反應堆堆芯，航空發動機，貝塞爾函數必然會鑽出個光頭。

當然我等學渣，一般都是用貝塞爾函數的三角函數近似代替，吼吼。

氫原子中解電子的徑向波函數有個合流超幾何方程。。

量子力學中就有好多應用。

在反應堆中，對於柱形堆芯，其中子通量密度在軸向是成餘弦分布，徑向呈貝塞尓函數分布。