糾纏熵及其在物理中的應用？

01-08

APS上聽到了many body localization，請相關研究方向的同學介紹一下糾纏熵的一些基本概念，及其在具體體系中的應用情況

最近做了一點 AdS/CFT，可以簡單介紹一下我所了解的，主要是基本概念，應用的話在這個領域多半是一些非常 formal 的理論研究。

糾纏熵的基本概念非常簡單，就是量子層面上對「無知」的一種度量。

我們知道，熱熵度量的是由粗粒化( Coarse Graining )帶來的「無知」，也就是說我們假設只知道一些宏觀的熱力學量，而對微觀狀態一無所知，則可以得到一個熵。

量子層面，體現「無知」的是對 Hilbert 空間的某些子空間進行無差別求和。不知道骰子的點數，我們就把所有的6種可能性加起來。描述量子體系的是 Hilbert 空間 $mathcal{H}$ 上的密度矩陣 $ho$ ，而子空間 $mathcal{H}_1$ 的糾纏熵就定義為

$ho_1 = extrm{Tr}_{ar{mathcal{H}}_1} ho\ S_1 = - extrm{Tr}_{mathcal{H}_1}left[ ho_1ln ho_1 ight]$

即把 $mathcal{H}_1$ 以外的部分全部求和掉，然後算剩下的部分的馮·諾依曼熵。很顯然，這種定義的意思就是，假設我只知道 $mathcal{H}_1$ 部分的信息，而其它信息一概不知，則可以得到一個熵。

所以，糾纏熵是 Hilbert 空間的子空間的一個性質，記為 $S(mathcal{H}_1)$ 。

很容易想像，因為量子系統的特殊性質，糾纏熵並不是可加的。因此我們可以定義

$I(A,B)=S(Acup B)-S(A)-S(B)+S(Acap B)$

叫 mutual information，體現兩個子空間之間糾纏。

大概的基本概念就是這樣的。

AdS/CFT 里，CFT那一邊的糾纏熵可以通過計算 AdS bulk 中的 minimal surface 來得到

$S(A)=frac{ extrm{Area}(gamma_A)}{4G_N}$

講一點它的性質：

上面講的次可加性 subadditivity，很容易從 minimal surface 的 subadditivity 看出：

左邊黑線是邊界上的 CFT，右邊是 AdS bulk，邊界上的不交子集 A, B, C，它們的糾纏熵的次可加性對應於 bulk 中的 minimal surface（紅、藍線）的次可加性。
熱熵，在量子體系里體現為整個密度矩陣的馮·諾依曼熵，也就是說我們在邊界上取一個區域 A，讓它趨近於整個邊界。如果 bulk 中沒有洞，那麼 naively 當 A 覆蓋整個邊界時，A 的邊緣收縮到一點，自然其延伸到 bulk 中的 minimal surface 也收縮到一點，所以熵為0。這意味著邊界態是一個純態。那麼什麼時候邊界態可以是混合態呢？當 bulk 中有洞的時候。這個洞就是黑洞，而此時 A 的 minimal surface 在 A 趨於整個邊界時，出於同倫的限制，會留下一個覆蓋黑洞視界的 surface，而不會收縮到0。這樣，我們就得到了黑洞熱力學的著名結論：黑洞表面積正比於熵。另外，在最大延拓坐標系中，黑洞的「另一側」還有一個宇宙，通過愛因斯坦羅森橋（蟲洞的一種）與這邊相連。而我們宇宙邊界上的混合態，可以理解為與另一個宇宙邊界上的態有糾纏，即把另一個邊界態求和後，剩下一個非純態。
糾纏熵是否含有所有的信息？很容易想像，如果知道 Hilbert 空間任意子集的糾纏熵，我們就可以重構密度矩陣，這就是量子態所有的信息。但是最近的研究表明，在 AdS/CFT 對應中，糾纏熵並不總能探測到 bulk 的每一個角落。糾纏熵通過 minimal surface 深入 bulk 中，bulk 中的任何 local information 都能通過經過它的 minimal surface 反應在邊界的糾纏熵中。但是有的理論里，bulk 中有一部分區域（稱為 shadow）不被任何 minimal surface 探測到。也就是說，在這種理論里，bulk 的信息不能從邊界理論的糾纏熵重構，糾纏熵永遠不知道 shadow 里有什麼 local information。如果 AdS/CFT 對應對於信息來說是一一對應的，那麼這部分信息就會對應於邊界上無法用糾纏熵表示的信息，它們是什麼？
強關聯體系無法達到熱平衡？最近有研究表明，AdS bulk 中允許存在震蕩解，即物質並不會聚集在中心形成黑洞，而會在一定半徑的地方來回震蕩。這說明了邊界的強關聯體系不會達到熱平衡，而會處於始終震蕩的狀態。這與經典物理的直覺相違背。物理學家還在研究這種震蕩解。
MERA ( multi-scale entanglement renormalization ansatz )。通過對量子晶格進行 Course Grain 和去糾纏化，來達到類似重整化的效果。這個研究開始於量子計算，是可以極大簡化計算複雜度的技巧。最近有物理學家試圖用它重構 AdS/CFT。把初始的量子晶格看作是邊界理論，而重整化方向則是一個新的維度，通過在這個新的維度上定義度規，重構了 Poincare patch AdS space。並且，這個圖景中很容易看出糾纏熵與一種類似於 minimal surface 的面積成正比。

2014年David Huse寫了一篇非常好的review文章

many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics

[1404.0686] Many body localization and thermalization in quantum statistical mechanics

主要觀點是，對於一個trivial的高能態(不是本徵態)，經過一段時間演化後會thermalize。但是我們知道，所謂的thermalize，就是達到平衡態，是對一個ensemble定義的，一個純態怎麼能達到平衡態呢？

一個非常聰明的辦法就是把這個體系分成兩部分A+B，只看其中一部分的時間演化，看看它是不是符合平衡態的特徵。這個時候，我們就可以看幾個特點，一個是ergodicity，另一個就是子體系A的熵。那麼在整個體系是純態的時候，沒有thermal的熵，就只有糾纏熵(entanglement entropy)了。如果要和統計力學上的平衡態表現一致，糾纏熵就必須符合所謂的"volumn law"，和子體系的體積成正比。

MBL是指在一個interacting, disorder的系統中的這樣的高能態不會thermalize，量子系統中的local observable不會在時間演化中丟失，這個時候糾纏熵也就不再滿足"volumn law"，而符合量子系統的"area law"了。

這樣我們對一個體系做時間演化，計算一下糾纏熵與子體系尺度的scaling，就能判斷是不是發生MBL了。

糾纏熵這個概念最早起源於量子信息，但最近在凝聚態理論中有很多應用，MBL算是之一。@Minglei Xiao提到的AdS/CFT是另外一個。

除此之外還可以探測topological order。在一般的gapped system中基態糾纏熵符合area law的， $Spropto L^{n-1}$ ，和子體系的表面積成正比，而不是和體積成正比，這是因為gapped system的correlation function是exponential decay的。那麼在有topological order的體系里，一般存在hidden long range order，這個時候就有 $S=alpha L^{n-1}-gamma$ ，通過確定常數 $gamma$ ，還可能判斷是什麼樣的topological order。

再比如一維體系通常用密度矩陣重整化(DMRG)可以數值計算，但是在gapless，critical這些體系中效果確不好。因為在通常的一維體系中的area law，因為area是常數，所以糾纏熵也是常數，正好適於DMRG處理。而在gapless和critical的體系里 $Spropto L^{n-1}ln L$ ，隨著體系尺度增大DMRG就處理不了了，這時MERA因為它的樹狀結構和和disentangler，正好適合處理這樣的scaling：如果把一個MERA切成兩部分，留下的dangling bond正好是 $L^{n-1}ln L$ 個。這個問題當然也可以用correlation function來解釋。

I"ve never done research on this topic, but have read sth on it for curiosity and have some naive understanding:

Entanglement entropy is defined as von Neumann entropy of a subsystem using its reduced density matrix. Why it is useful to characterize many body localization ?

An important feature of many body localized state is that it does not thermalize (in other words, it carries strong local memory), in contrast to the states that thermalize (they lose initial memory as t --&> Inf). In other words, many-body localization implies the exsistence of some (quasi-) local integral of motion, which prevents thermalization. The locality implies that the entanglement cannot scale as the size (volume) of the subsystem, but rather scales as the surface area of the subsystem, in contrast to the thermal states.

The following 3 papers are what I read on many body localization:

http://arxiv.org/abs/1408.2834, http://arxiv.org/abs/1410.0687, http://arxiv.org/abs/1312.0577

最新的一種見解是，時空的結構是一種宏觀現象（emergent phenomena）, 量子力學是基本的原則，時空結構是在量子力學的原則下，在某種情形下的宏觀產物。為什麼會有時空這種結構出現呢，糾纏熵是一種直觀的研究這個範疇的工具。

最近正好在看相關的綜述, 扯上兩句. 說錯了歡迎指出.

Area laws, 在凝聚態物理裡面用來從一個側面刻畫糾纏結構, 等價描述大概是糾纏熵有界. 簡單的來說, 就是刻畫了只有 polynomial 規模的 quantum state (而不是通常意義下的 exponential), 也就是 effective classical description. 當然, 類似的思想也出現在 holographic principle 中.

area law 也和 tensor network 有一些聯繫. 對於符合 area law 的情況(比如 1D gapped system), 它們可以通過 matrix product state 之類的 tensor network 方法有效解決. 但是一般意義下的 tensor network 計算能力是 PP-Complete (PostBQP=PP, 因為是一般的 tensor network 是 general linear transform), 而 Feynman 提出的 quantum simulation 能做到只是 BQP-Complete. 這也是量子計算機能做到的情況, 遺憾的是 2-loca Hamiltonian problem 都是 QMA-Complete 的 (QMA 之於量子計算機類似 NP 之於經典計算機. 我們通常能用經典計算機精確模擬的東西最多不過是 P-Complete. 上面這些複雜性類的 Hierarchy 是 $Psubseteq BQPsubseteq QMAsubseteq PP=PostBQP$ . 從這個角度說, area law 也給出了刻畫什麼樣的 tensor network 是能夠有效計算的.

多補充一句, DMRG 其實是個啟發式演算法. 不過最近有個對 RG 框架下的演算法進行嚴格分析的工作: http://arxiv.org/abs/1602.08828, 也討論了 ground state 部分簡併情形下的 area laws.