我們為什麼要研究群表示？

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如題

要檢驗一個人的武打水平，一個最有效的方法就是讓他與不同人、生物、材質打，觀察其對目標的打擊效果。類似的，研究群的性質，最好的方法是讓它作用在不同的空間上，觀察其作用效果，因此我們研究群表示。

在物理研究中，群一般以變換群的面目出現，作用在物理對象（場、態）上。如果一個群，或者其他代數結構，完全不作用在任何對象上，那這個結構就與所考慮的物理系統脫節了，從一開始就不需要考慮。因此在物理中自然地主要研究群表示。

兩個選手的武術競技自然要比一個人獨自耍拳要好看，畢竟雙方都有著自己的獨立行為模式，這些模式的較量組合成精彩的擂台賽。同樣，群表示也比群本身要豐富，因為被作用空間可以具有豐富的額外結構（度規結構、線性結構、內積結構等），群對這些結構的不同作用效果就帶來無窮的可能性。

對物理來說，是反過來，為了研究群表示，才研究群本身。物理關心的的是群作用的向量空間。這個空間的線性變換函數空間是群的同態映射，不是群本身，比群有更多的結構。區分群和群表示，是理解群表示理論動機的第一步。

研究群表示可以將群與線性空間聯繫起來，而線性空間我們相對熟悉一點，這樣我們期望可以用線性代數的一些東西來解決群論的一些東西（當然不止於此），比如Burnside定理

如果你是想說群表示論怎麼來的話，參考群行列式，Frobenius解決有限非交換群的群行列式時創立了群表示理論

方便對抽象的群進行解剖，以看出它們更精細的結構。

可以抽象的表達線性代數、拓撲學等多個領域內的概念。更抽象的可以看看category theory如何表達群、環、集中的概念。

其實群表示弱暴了，因為它不是解決問題的根本方法，使用不當會造成錯誤。

相信在下面的鏈接中會有合適的答案。

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