有量綱的物理量取對數後的意義？

01-08

考慮一個具體的問題，比如Arrhenius方程：
$r=Ae^{- frac{Delta E}{RT}}$
通常用對數形式：
$ln r=ln A - frac{Delta E}{RT}$
然後通過作 $ln r - frac{1}{T}$ 曲線，就可以算出 $Delta E$ 。我的問題在於， $r$ 通常是有量綱的，在這種情況下，這種量取對數是不是本身就不對？而且如果作圖的時候， $r$ 量綱不一樣，曲線斜率也就不一樣， $Delta E$ 算出來就不一樣了。這怎麼解釋？

對你這個問題來說，實際上是

$lnfrac{r}{A} = -frac{Delta E}{RT}$

它的兩側都是無量綱的。嚴格來說只有無量綱的量才能做指數對數運算。

畫 $ln r$ 應該是為了方便吧，只要r和A是同一個量綱，就是可以相互抵消的，r取什麼量綱也就無所謂了。而且對數坐標軸變換量綱，位置是平移的，所以斜率應該不會變。

今天晚上騎車路上想明白了。基本同 @靈劍的想法。

如果有 $r$ ，使得 $r$ 無量綱，或者取任意量綱，代入對數表達式，有：

$ln r$

那麼顯然 $ln r$ 曲線和原曲線斜率一致。

也就是說，在這種意義下， $r$ 量綱是不重要的。為了得到一個良定義的公式，也可以對對數部分去量綱，如下：

$ln frac{r}{r^circ} = ln frac{A}{r^circ} - frac{Delta E}{RT}$

其中， $r^circ$ 為一個常數物理量，用來去量綱

再次感謝 @靈劍，今天下午整個蒙圈了，都讓我懷疑人生了……

這是一個「居然是盲點的」常識——

對數是把乘除變成加減， $log r - log r_0 = logfrac{r}{r_0}$ 總是無量綱的。式子中 $log r_0$ 這項就是可選的單位；正如 $frac{r}{r_0}$ 中的 $r_0$ 這項是可選的單位。

舉一個心理統計的常見實例：SWB = $alpha$ + $eta imeslog$ (INCOME) + $varepsilon$ 其中，log(INCOME) 每 0.1 個坐標格的意思大概是一個漲停板，選不同的 INCOME(收入) 單位影響橫坐標的平移，正如選不同的 SWB(主觀幸福感) 單位影響縱坐標的尺度。

和化學教授 @fanfan Jiang 談了談，看題主的回應，她的回答應該是教學實踐中的正解【有量綱的物理量取對數後的意義？ - fanfan Jiang 的回答】。回想起中學物理習題確實很強調在符號上區分矢量速度和標量速率。不過，即使標量速率仍然帶有量綱，前面那段解釋，不是「世界是怎樣」的宇宙論問題，而是「我們用符號系統怎麼看世界」的認識論問題。也許這樣的表述更直接——

「量綱（單位）總是乘上去的」是先入為主的偏見。在對數運算極其普遍的另一個平行世界裡，他們先入為主地認為量綱（單位）總是加上去的， $log(5km)$ 的意思是 $log(5) + log(km)$ 。

別忘了，你作圖的時候，實際上用的是純數，也就是除以了一個這個物理量的單位，除了以後自然是沒有量綱的

上面說的差不多都對，我這裡從另一個角度說下吧。

A方程本來就是經驗公式，所謂經驗公式就是說，最開始van♂t Hoff這個人發現溫度t與反應速率r之間有某種不可描述的關係，然後A這個人就在van♂的基礎上繼續研究發現速率的對數ln(r)與溫度t之間的關係，並提出活化能也就是Ea來確立兩者之間的關係，最後再用A（應該就是指他名字的第一個字母吧，未考證）作為指前因子，也就是不定積分裡面的那個常數c（嚴格說應該是ln(A)）。

也就是說，經驗公式中量綱一般是用來自圓其說的，為什麼A提出活化能而不是活化熵或者其他，部分原因就是因為E/Rt是一個無量綱的量，這樣才能和ln(r)一樣，但是這裡就出現題主的問題，就是r不是純數，那麼就正好利用上面的指前因子A來讓r/A變成純數就好了。

所以得出的結論差不多就是說，其實就是因為指前因子A還是有量綱的，所以只要兩端同時減去一個ln(量綱)，兩邊就相等了。

當然後面的碰撞理論成功推導出了A公式，可喜可賀。

參考南大傅獻彩物化

對有量綱的物理量直接取指對三角函數都沒有意義。

可以按如下方式來思考

首先，在一個方程或表達式中直接相加減的物理量都必須是相同量綱的，這是一條最基本的規則。

然後，對於指對三角一類的函數，將其展開成泰勒級數。若自變數的物理量是有量綱的，則在泰勒級數的表達式中必然會出現不同量綱的物理量相加減，而這違反了上述的規則。

這個應該是對任何單位制都適用的。而事實上，在公式中，排除掉人為強行取指對三角的情況，所有的指對函數的自變數全都是無量綱量，個人感覺是一個非常神奇的事情。

然而，在實際中，往往會涉及到這種運算(就我僅有的知識來看，化學中這種做法比較多)，但其實都是隱含了無量綱化過程的。個人在大物實驗中遇到這種情況都會這麼寫(以對數為例)：log(物理量/單位)，如：log(P/kPa)

題主說的量綱不一樣，指的應該是單位不一樣吧，其實從圖像上來看，形狀上是沒有什麼影響的，還是剛才那個例子，log(P/kPa)=log(P/pa÷1000)=log(P/Pa)-3即只會產生上下平移。而考慮原方程(未取對數之前)，兩側的單位必須相同，所以取不同單位，表達式另一側的物理量也會有相應的變化，因此這個平移也並沒有實質的區別，沒毛病。

順帶一提，有一種叫做自然單位制的東西，就是省略所有的c不寫(把c當做1)，有的時候會產生看起來量綱不對的樣子。大一老師講狹義相對論的時候，寫了一個公式就是用的自然單位制而並沒有提及，我還因為認為老師寫錯了而鄙視了一番，直到後來才知道是以自然單位制寫的，只得貽笑大方了。

那個具體問題靈劍和小黑已經表達得很清楚了，我想說的是：目前任何一個表達自然界基本物理規律的等式是不會對一個單獨的物理量出現對數運算的，或者轉化為無對數表達，或者轉化為量綱抵消的標量對數運算。

等式中的對數運算僅是物理規律的一種數學表達。

任何一個成立的等式或者方程左右兩邊的dimension是相同的，因此也就可以視作相抵，就不存在取對數是否有意義的問題了。

只有無量綱的純數才能夠取對數或者指數，否則泰勒展開一下你會發現不同階有不同量綱，這將無法形成物理上的等式。

如果你不幸發現那裡的教材把有量綱的表達式放在對數函數里，那麼只有這三種可能：

1，作者粗心漏了什麼

2，作者認為你可以通過量綱分析還原回去（類似於推倒時把普朗克常數當作一，推導最後配回來）

3，作者在逗你。。。（不是我）

同意@靈劍，其實是無量綱的。

此外，題主公式寫錯了，左邊不是r是k（如果只是符號替換無傷大雅，但物理意義差很多，這就關乎量綱了）

r是速度，k是速率常數。題主注意到右邊指數前面那個A嗎？我們叫它指前因子，這個指前因子除了有數值意義（使得這個公式成立）也有物理意義---量綱統一，它和k速率常數的量綱一樣的———後面那個自然底數指數是木量綱的（活化能Ea與RT相除就量綱消掉了）

還有個K題主不知道平常學習中有無留意到，平衡常數，因為它跟反應方程式相關，所以單位無法確定，總是mol/L的若干次方。這樣勢必不能做複雜對數處理，所以有個標準平衡常數，K右上角多一個標準符號的，就是濃度單項都分別除以一個標準項1mol/L 這樣最後平衡常數就不帶量綱了

有量綱的物理量取對數和指數的時候都要除以自己的單位，如果是一個方程里有不止一個對數項，那必須除以同一套單位制的單位，如果對數是出現在微分中，那用什麼單位都沒有影響

物理等式只研究變數間的關係，如果量綱差了就加常數，然後給常數一個平衡的量綱。比如牛二F=ma，為了讓等式成立，直接定義了力的量綱，為了省去常數，連量綱的大小都定義了。例如萬有引力定律，在右邊有了質量乘質量以後，就在常數里把質量放量綱倒數里。

所以沒有必要糾結量綱。這個東西是說來搞笑的，是一種玩題目的技巧。有人曾經用量綱去推牛二和萬有引力，結果是對的。但那只是技巧湊巧了而已。規律是本質的，等式是猜的，量綱是人為加的

這是原來的公式 $r=Ae^{-frac{Delta E}{RT} }$

當然實際上為了計算的方便而化成對數形式

$ln r=lnA-frac{Delta E}{RT}$

題目中所說的有量綱的物理量取對數後的意義

實際上，對數和指數都必須是無量綱的量，這樣才會有意義

那麼，考慮原公式

$ln r=lnA-frac{Delta E}{RT}$

其指數部分 $-frac{Delta E}{RT}$ 是無量綱的

同時，A和r的量綱應該是相同的

因此，若應用原公式的變形形式

應該確保A和r的量綱相同

正如其他答主所說，通過移項可得

$ln frac{r}{A} =-frac{Delta E}{RT}$

左邊的 $frac{r}{A}$ 是無量綱的，可以進行對數運算

右邊的 $-frac{Delta E}{RT}$ 也是無量綱的

等式左右均為無量綱量

寫是這麼寫。。但是實際上是r/A是無量綱的，只要A和r量綱一樣就能消去量綱變成實數，然後再把lnA挪過去

沒有意義。

除了你這個以外，最典型的例子是量子場論裡面重整化後經常得到 log(m), m是一個物理量。然後你會發現很多情況下正確結果被「人為」改成是 log(m/m*) ，m*為一個恰好使得對數裡面無量綱的單位。

這是因為一開始引入一些物理量的時候或者一開始使用的單位被簡化的原因。比如你用SI單位制，一條線跟下來是不會出現這樣的問題的。

為了研究兩個量之間的數量級上的差距