AMB=I 已知A和B，A和B都不是方陣，求解M？

01-08

A: 3x5
B: 5x3
都是已知的

討厭的是A和B都不是方陣，不能簡單地求逆；
如果套用偽逆的話，這裡也很難湊出A*pinv（A）=I 或者 pinv(B)*B=I的形式

這個應該如何求解呢？

接著 @龔譯凡的解釋，根據Kronecker Product的性質

http://www.siam.org/books/textbooks/OT91sample.pdf

vec(AMB) = (B"otimesA)*vec(M) ,

也就是說，用vec() 運算符在原等式兩邊同時操作，可以把原方程可以轉化成一個標準的線性方程

(B"*otimesA)*vec(M) = vec(I)

翻譯成MATLAB代碼，就是

&>&> I = eye(3);

&>&> M_vec = kron(B."*A)I(:);

&>&> M = reshape(M_vec, 5,5);

有兩個方法求 $M$ ，Pseudo Inverse和SVD，偽逆的方法是可行的。

只考慮實矩陣， $A,B$ 分別行列滿秩。

方法1-Pseudo Inverse： $A,B$ 的偽逆為別為

$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A^{+} = A^T(AA^T)^{-1},~ B^{+}=(B^TB)^{-1}B^T,$

並且滿足

$.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~AA^{+} = I,~ B^{+}B=I,$

因此取 $M=A^{+}B^{+}$ 即可。

m = 3; n = 5;


A = randn(m, n);

B = randn(n, m);
iA1 = (A") /(A*A");

iB1 = (B"*B) B";

M = iA1*iB1; A*M*B

方法2-SVD：方法2與方法一殊途同歸。考慮MATLAB下的經濟型SVD，求解 $A$ 的右逆， $B$ 的左逆

[u1, s1, v1] = svd(A, "econ"); is1 = diag(diag(s1).^(-1)); iA2 = (v1)*is1*(u1");


[u2, s2, v2] = svd(B, "econ");

is2 = diag(diag(s2).^(-1));

iB2 = (v2)*is2*(u2");

M = iA2*iB2; A*M*B

然後 $M$ 是它們的積。

兩個方法返回的結果一致，另外還可以考慮將 $A$ 的行， $B$ 的列單位正交化的方法。

手機不好打…請搜索kronecker積

好像沒那麼麻煩

A M B = E

設 A = U1 D1 V1, B = U2 D2 V2

則

U1 D1 V1 M U2 D2 V2 = E

M = V1" D1^-1 U1" V2" D2^-1 U2"

D一定full rank，否則相乘後一定不等於full rank的E

可不可以兩邊左乘A的逆，右乘以B的逆，matlab有廣義逆的具體語句

1,你可以試試matlab 運算符，幫助你求解廣義逆，應該就是偽逆

2,試試將A與B矩陣分解，比如SVD分解

A*M*B=I 已知A和B，A和B都不是方陣，求解M？